Calcule a raiz real da equação transcendente \cos (x)+\ln (x)=0, pelo método da bisseção, com uma precisão \varepsilon \leq 10^{-2}. Nos calculos, use o método de arredondamento. Sugestão: Use um recurso computacional para a construção do gráfico.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a raiz real da equação \cos(x)+\ln(x)=0 usando o método da bisseção com precisão \varepsilon \le 10^{-2}. Informações dadas e condições relevantes:
  • A equação é \cos(x)+\ln(x)=0.
  • A função associada é f(x)=\cos(x)+\ln(x).
  • O domínio natural é x>0 (porque \ln(x) exige x>0).
  • A precisão requerida é \varepsilon=10^{-2} ou melhor.
  • Foi sugerido usar um recurso computacional para o gráfico (isto serve apenas para escolher um intervalo inicial com mudança de sinal).

Passo 2

Plano de resolução (explicação didática do método da bisseção e do critério de arredondamento que vou usar).
  • Ideia do método da bisseção: se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe pelo menos uma raiz em (a,b). A bisseção consiste em calcular o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}, avaliar f(m) e substituir o intervalo [a,b] por [a,m] ou [m,b] dependendo do sinal, repetindo até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
  • Fórmulas usadas: m=\frac{a+b}{2},\qquad \text{escolher o subintervalo em que }f\text{ muda de sinal.}O número mínimo de iterações n requerido para reduzir o comprimento do intervalo inicial b-a a um erro máximo \varepsilon satisfaz \frac{b-a}{2^n}\le \varepsilon \qquad\Rightarrow\qquad n\ge\left\lceil\log_2\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
  • Critério de parada prático que usarei: encerro quando o comprimento do intervalo [a,b] ficar \le \varepsilon. A aproximação final será o ponto médio do intervalo final.
  • Método de arredondamento pedido no enunciado: em todos os cálculos numéricos de \cos(\cdot), \ln(\cdot), pontos médios e somas, vou arredondar os resultados a quatro casas decimais (arredondamento usual: dígito seguinte \ge 5 sobe). Isso torna o processo compatível com cálculos feitos “na mão” com arredondamento constante e ainda mantém a precisão suficiente para cumprir \varepsilon=10^{-2}.

Passo 3

Escolher um intervalo inicial [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0.
  • Como \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty e \cos(x) é finito, f(x) é negativo próximo de 0^+. Também para valores moderados (ex.: x=0,5) a função pode ser positiva. Usando um gráfico (ou avaliando alguns pontos) escolhemos o intervalo inicial [a,b]=[0,1] ou mais convenientemente [0,1] reduzido para [0,1] não é válido porque x=0 não está no domínio; então tomamos um ponto pequeno positivo, por exemplo a=0,1 e b=0,5.
  • Vou confirmar os sinais avaliando f em a e b, arredondando a quatro casas decimais: f(x)=\cos(x)+\ln(x).Avaliações (arredondadas a 4 casas): \cos(0,1)=0,9950,\qquad \ln(0,1)=-2,3026,
f(0,1)=0,9950+(-2,3026)=-1,3076\quad(\text{negativo}).
\cos(0,5)=0,8776,\qquad \ln(0,5)=-0,6931,
f(0,5)=0,8776+(-0,6931)=0,1845\quad(\text{positivo}).
  • Como f(0,1)\cdot f(0,5)<0, há pelo menos uma raiz em (0,1). Tomamos então o intervalo inicial [a_0,b_0]=[0,1,\,0,5].

Passo 4

Aplicação do método da bisseção — iterando e arredondando a 4 casas (cada linha mostra o ponto médio, as avaliações arredondadas e a decisão de atualização do intervalo).
Iteração 1:
  • a=0,1, b=0,5.
  • m_1=\dfrac{0,1+0,5}{2}=0,3.
  • Avaliações arredondadas: \cos(0,3)=0,9553,\qquad \ln(0,3)=-1,2040,
f(0,3)=0,9553+(-1,2040)=-0,2487\\ (\text{negativo}).
  • Como f(0,3) é negativo e f(0,5) é positivo, escolhemos o subintervalo [0,3,\,0,5].
Iteração 2:
  • a=0,3, b=0,5.
  • m_2=\dfrac{0,3+0,5}{2}=0,4.
  • Avaliações arredondadas: \cos(0,4)=0,9211,\qquad \ln(0,4)=-0,9163,
f(0,4)=0,9211+(-0,9163)=0,0048\\ (\text{positivo}).
  • Como f(0,3) é negativo e f(0,4) é positivo, escolhemos o subintervalo [0,3,\,0,4].
Observação: após 2 iterações o comprimento do intervalo é 0,4-0,3=0,1, ainda maior que \varepsilon=0,01, então continuamos.
Iteração 3:
  • a=0,3, b=0,4.
  • m_3=\dfrac{0,3+0,4}{2}=0,35.
  • Avaliações arredondadas: \cos(0,35)=0,9394,\qquad \ln(0,35)=-1,0498,
f(0,35)=0,9394+(-1,0498)=-0,1104\\ (\text{negativo}).
  • Novo subintervalo: [0,35,\,0,4].
Iteração 4:
  • a=0,35, b=0,4.
  • m_4=\dfrac{0,35+0,4}{2}=0,375.
  • Avaliações arredondadas: \cos(0,375)=0,9305,\qquad \ln(0,375)=-0,9808,
f(0,375)=0,9305+(-0,9808)=-0,0503\\ (\text{negativo}).
  • Novo subintervalo: [0,375,\,0,4].
Iteração 5:
  • a=0,375, b=0,4.
  • m_5=\dfrac{0,375+0,4}{2}=0,3875.
  • Avaliações aproximadas e arredondadas (usei linearização/localização e arredondei a 4 casas): \cos(0,3875)\approx0,9259,\qquad \ln(0,3875)\approx-0,9475,
f(0,3875)\approx0,9259+(-0,9475)=-0,0216\\ (\text{negativo}).
  • Novo subintervalo: [0,3875,\,0,4].
  • Comprimento do intervalo agora: 0,4-0,3875=0,0125, ainda maior que 0,01, então continuamos.
Iteração 6:
  • a=0,3875, b=0,4.
  • m_6=\dfrac{0,3875+0,4}{2}=0,39375.
  • Avaliações aproximadas e arredondadas: \cos(0,39375)\approx0,9236,\qquad \ln(0,39375)\approx-0,9314,
f(0,39375)\approx0,9236+(-0,9314)=-0,0078\\ (\text{negativo}).
  • Como f(0,39375) é negativo e f(0,4) é positivo, novo subintervalo: [0,39375,\,0,4].
  • Comprimento do intervalo: 0,4-0,39375=0,00625\le 0,01. Portanto o critério de parada foi atingido.
Observação sobre número de iterações: pelo cálculo teórico n\ge\lceil\log_2((0,5-0,1)/0,01)\rceil=\lceil\log_2(40)\rceil=6. De fato foram necessárias 6 iterações.

Passo 5

Construção da aproximação final e comentário sobre erro.
  • O intervalo final é [a,b]=[0,39375,\,0,4] com comprimento 0,00625\le 0,01.
  • A aproximação pela bisseção, tomada como o ponto médio do intervalo final, é x_{\text{aprox}}=\frac{0,39375+0,4}{2}=0,396875.
  • Arredondando para quatro casas (seguindo nosso método de arredondamento durante os cálculos), obtemos x_{\text{aprox}}\approx0,3969.
  • Garantia de erro: a bisseção assegura que a raiz real x^\ast está no intervalo final, portanto |x_{\text{aprox}}-x^\ast|\le\frac{b-a}{2}=\frac{0,00625}{2}=0,003125<0,01.Assim a aproximação cumpre a precisão exigida \varepsilon\le 10^{-2}.

Resposta

x\approx 0,3969

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