Calcule a raiz real da equação transcendente
, pelo método da bisseção, com uma precisão
. Nos calculos, use o método de arredondamento. Sugestão: Use um recurso computacional para a construção do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a raiz real da equação
usando o método da bisseção com precisão
. Informações dadas e condições relevantes:
- A equação é
. - A função associada é
. - O domínio natural é
(porque exige ). - A precisão requerida é
ou melhor. - Foi sugerido usar um recurso computacional para o gráfico (isto serve apenas para escolher um intervalo inicial com mudança de sinal).
Passo 2
Plano de resolução (explicação didática do método da bisseção e do critério de arredondamento que vou usar).
- Ideia do método da bisseção: se
é contínua em e , então existe pelo menos uma raiz em . A bisseção consiste em calcular o ponto médio , avaliar e substituir o intervalo por ou dependendo do sinal, repetindo até que o intervalo seja suficientemente pequeno. - Fórmulas usadas:
O número mínimo de iterações requerido para reduzir o comprimento do intervalo inicial a um erro máximo satisfaz - Critério de parada prático que usarei: encerro quando o comprimento do intervalo
ficar . A aproximação final será o ponto médio do intervalo final. - Método de arredondamento pedido no enunciado: em todos os cálculos numéricos de
, , pontos médios e somas, vou arredondar os resultados a quatro casas decimais (arredondamento usual: dígito seguinte sobe). Isso torna o processo compatível com cálculos feitos “na mão” com arredondamento constante e ainda mantém a precisão suficiente para cumprir .
Passo 3
Escolher um intervalo inicial
com
.
- Como
e é finito, é negativo próximo de . Também para valores moderados (ex.: ) a função pode ser positiva. Usando um gráfico (ou avaliando alguns pontos) escolhemos o intervalo inicial ou mais convenientemente reduzido para não é válido porque não está no domínio; então tomamos um ponto pequeno positivo, por exemplo e . - Vou confirmar os sinais avaliando
em e , arredondando a quatro casas decimais: Avaliações (arredondadas a 4 casas):
- Como
, há pelo menos uma raiz em . Tomamos então o intervalo inicial .
Passo 4
Aplicação do método da bisseção — iterando e arredondando a 4 casas (cada linha mostra o ponto médio, as avaliações arredondadas e a decisão de atualização do intervalo).
Iteração 1:
-
, . -
. - Avaliações arredondadas:
- Como
é negativo e é positivo, escolhemos o subintervalo .
Iteração 2:
-
, . -
. - Avaliações arredondadas:
- Como
é negativo e é positivo, escolhemos o subintervalo .
Observação: após 2 iterações o comprimento do intervalo é
, ainda maior que
, então continuamos.
Iteração 3:
-
, . -
. - Avaliações arredondadas:
- Novo subintervalo:
.
Iteração 4:
-
, . -
. - Avaliações arredondadas:
- Novo subintervalo:
.
Iteração 5:
-
, . -
. - Avaliações aproximadas e arredondadas (usei linearização/localização e arredondei a 4 casas):
- Novo subintervalo:
. - Comprimento do intervalo agora:
, ainda maior que , então continuamos.
Iteração 6:
-
, . -
. - Avaliações aproximadas e arredondadas:
- Como
é negativo e é positivo, novo subintervalo: . - Comprimento do intervalo:
. Portanto o critério de parada foi atingido.
Observação sobre número de iterações: pelo cálculo teórico
. De fato foram necessárias 6 iterações.
Passo 5
Construção da aproximação final e comentário sobre erro.
- O intervalo final é
com comprimento . - A aproximação pela bisseção, tomada como o ponto médio do intervalo final, é
- Arredondando para quatro casas (seguindo nosso método de arredondamento durante os cálculos), obtemos
. - Garantia de erro: a bisseção assegura que a raiz real
está no intervalo final, portanto Assim a aproximação cumpre a precisão exigida .