O que se pede: decidir se existe f'(0), ou seja, se a derivada de f no ponto 0 existe, e, se existir, calcular o seu valor.
Informações úteis extraídas do enunciado:
f(0)=2.
Para x\neq0, f(x)=2\frac{\sin x}{x}.]
Passo 2
Definir a derivada em 0 pela definição (diferença quociente):
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
Substituindo f(h)=2\frac{\sin h}{h} para h\neq0 e f(0)=2, obtemos
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{2\frac{\sin h}{h}-2}{h}.
Passo 3
Fatorando 2 e simplificando a expressão:
f'(0)=2\lim_{h\to 0}\frac{\frac{\sin h}{h}-1}{h}.
Colocando em um único quociente:
\frac{\frac{\sin h}{h}-1}{h}=\frac{\sin h - h}{h^2}.
Portanto
f'(0)=2\lim_{h\to 0}\frac{\sin h - h}{h^2}.
Antes de calcular, verifique o tipo de indeterminação: tanto o numerador \sin h - h quanto o denominador h^2 tendem a 0 quando h\to0, portanto temos uma forma indeterminada 0/0 e podemos usar a regra de L’Hôpital (desde que as funções sejam diferenciáveis nas proximidades de 0, o que é o caso).
Passo 4
Aplicar a regra de L’Hôpital à função
\lim_{h\to 0}\frac{\sin h - h}{h^2}.
Derivando numerador e denominador em relação a h obtemos:
derivada do numerador: \dfrac{d}{dh}(\sin h - h)=\cos h - 1,
derivada do denominador: \dfrac{d}{dh}(h^2)=2h.
Pela regra de L’Hôpital:
\lim_{h\to 0}\frac{\sin h - h}{h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{\cos h - 1}{2h}.
Ainda é 0/0 porque \cos 0 -1 =0 e 2\cdot 0=0, então aplicamos L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Segunda aplicação de L’Hôpital:
derivada do numerador \cos h -1 é -\sin h,
derivada do denominador 2h é 2.
Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{\cos h - 1}{2h}=\lim_{h\to 0}\frac{-\sin h}{2}=\frac{-\sin 0}{2}=0.
Logo
\lim_{h\to 0}\frac{\sin h - h}{h^2}=0.
Passo 6
Voltando para a expressão de f'(0):
f'(0)=2\cdot 0=0.
Portanto a derivada em 0 existe e vale 0.
Comentário didático rápido e encorajador: outra forma de ver isso é usar a expansão em série pequena \sin h = h - \dfrac{h^3}{6}+o(h^3), que leva ao mesmo resultado; a regra de L’Hôpital é um método prático e direto aqui. Boa — já era, você conseguiu!