Seja função f(x)=|3 x-6| uma função real.
(a) Mostre que f(x) não é diferenciável em x=2.
(b) Encontre uma fórmula para f^{\prime}(x) e esboce os gráficos de f e f^{\prime} no mesmo sistema de eixos.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=|3x-6| definida em todos os reais e pede duas coisas:
(a) Mostrar que f não é diferenciável em x=2.
(b) Encontrar uma fórmula para f'(x) (a derivada) e esboçar os gráficos de f e de f' no mesmo sistema de eixos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função envolve valor absoluto de uma expressão linear.
Ponto destacado: x=2 (pois 3\cdot2-6=0, o argumento do valor absoluto zera aí).
Precisa-se tanto da prova da não-diferenciabilidade em x=2 quanto da expressão de f'(x) para x\neq 2 (e comportamento em x=2).
Passo 2
Simplificar a função para ficar mais claro como trabalhar com ela. Use a propriedade |ab|=|a|\,|b|:
f(x)=|3x-6|=|3(x-2)|=|3|\,|x-2|=3|x-2|.
Comentário didático: ao fatorar 3 tiramos um número positivo para fora do valor absoluto, ficando com 3 multiplicando |x-2|. Isso deixa bem claro que f é uma versão escalada de |x-2|.
Passo 3
Escrever f em forma piecewise (por partes), que facilita cálculo de derivadas:
Para x\ge 2 temos x-2\ge 0, então |x-2|=x-2 e
f(x)=3(x-2),\qquad x\ge 2.
Para x<2 temos x-2<0, então |x-2|=-(x-2)=2-x e
f(x)=3(2-x)=6-3x,\qquad x<2.
Verificação de continuidade em x=2: f(2)=3|2-2|=0. Pelo ramo da direita f(2)=3(2-2)=0 e pelo ramo da esquerda o limite também é 6-3\cdot2=0. Logo f é contínua em x=2 (continuidade não garante diferenciabilidade).
Passo 4
Calcular as derivadas laterais em x=2 usando a definição (diferença quociente). Primeiro a derivada pela esquerda (limite com h\to0^-):
f'_-(2)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Para h<0 temos 2+h<2, então usamos o ramo f(x)=6-3x. Assim
f(2+h)=6-3(2+h)=6-6-3h=-3h.
Logo
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{-3h-0}{h}=-3,
e portanto
f'_-(2)=\lim_{h\to0^-}(-3)=-3.
Agora a derivada pela direita (limite com h\to0^+):
f'_+(2)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Para h>0 temos 2+h>2, então usamos o ramo f(x)=3(x-2). Assim
f(2+h)=3((2+h)-2)=3h.
Logo
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{3h-0}{h}=3,
e portanto
f'_+(2)=\lim_{h\to0^+}3=3.
Passo 5
Concluir a não-diferenciabilidade em x=2. Como as derivadas laterais são diferentes:
f'_-(2)=-3\qquad\text{e}\qquad f'_+(2)=3,
os limites não coincidem, logo o limite do quociente de razão não existe em x=2. Portanto f não é diferenciável em x=2.
Explicação intuitiva e didática: geometricamente f é um “V” (um canto) com vértice em (2,0). À esquerda do vértice a reta tem inclinação -3; à direita a inclinação é +3. A presença desse canto (mudança brusca de inclinação) impede a existência de uma única reta tangente no vértice, isto é, impede diferenciabilidade.
Passo 6
Encontrar uma fórmula para [f’(x)) para todos os x. Como cada ramo é linear, sua derivada é a inclinação daquele ramo.
Para x<2, usando f(x)=6-3x, derivada é -3.
Para x>2, usando f(x)=3(x-2), derivada é 3.
Em x=2 a derivada não existe (já mostrado).
Uma forma compacta para (x\neq2] usa a função sinal: f'(x)=3\operatorname{sgn}(x-2),\qquad x\neq2,
onde \operatorname{sgn}(t)=\begin{cases}-1&t<0,\\[2pt]0&t=0,\\[2pt]1&t>0.\end{cases}]
Passo 7
Como esboçar os gráficos de f e f' no mesmo sistema de eixos (passo a passo prático para você desenhar rápido na prova):
Gráfico de f(x)=3|x-2|:
Vértice no ponto (2,0).
Para x<2 a reta é f(x)=6-3x. Por exemplo: f(0)=6 (marca (0,6)), inclinação -3.
Para x>2 a reta é f(x)=3(x-2). Por exemplo: f(3)=3 (marca (3,3)), inclinação +3.
Desenhe as duas semirretas que se encontram em (2,0). O gráfico é contínuo, em forma de V.
Gráfico de f'(x):
Para x<2 desenhe uma linha horizontal em y=-3.
Para x>2 desenhe uma linha horizontal em y=3.
Em x=2 marque um ponto aberto (círculo vazio) em ambas as linhas para indicar que f' não está definida em 2. Não há ponto preenchido em x=2.
Assim você tem duas horizontais separadas por uma “lacuna” em x=2.
Montando os dois no mesmo sistema:
Use escala vertical que acomode y=-3 e y=3 e também os valores de f como f(0)=6.
Desenhe primeiro f (V com vértice (2,0)), depois sobreponha as linhas horizontais de f' (uma em -3 à esquerda, outra em 3 à direita) com círculos abertos em x=2.
Observação visual útil: as inclinações das duas ramificações de f correspondem exatamente aos valores de f' nas regiões onde esta existe (-3 e +3).
Força aí — você consegue desenhar isso rapidinho na prova: V para f, duas linhas horizontais para f'.
Resposta
(a) f não é diferenciável em x=2, pois f'_-(2)=-3\neq f'_+(2)=3.