Usando o fato de que \frac{d}{d x}(\operatorname{sen} x)=\cos x e \frac{d}{d x}(\cos x)=-\operatorname{sen} x, prove as relações abaixo usando as propriedades operatórias das derivadas.
\frac{d}{d x}(\operatorname{cossec} x)=-\operatorname{cossec} x \cot x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Foi dado que
\displaystyle \frac{d}{d x}\big(\operatorname{sen} x\big)=\cos x e \displaystyle \frac{d}{d x}\big(\cos x\big)=-\operatorname{sen} x.
Pede-se para provar que
\frac{d}{d x}\big(\operatorname{cossec} x\big)=-\operatorname{cossec} x\cot x.
Informações relevantes que usarei (retiradas do enunciado e definições usuais):
  • \operatorname{cossec} x é a função recíproca de \operatorname{sen} x, isto é \operatorname{cossec} x = \dfrac{1}{\operatorname{sen} x}.
  • \cot x é \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}.
    A partir disso vamos derivar passo a passo usando propriedades operatórias das derivadas (produto, derivada de recíproco / regra da cadeia).

Passo 2

Lema útil (derivada do recíproco). Seja uma função u(x) diferenciável e não nula. Quero obter a fórmula para \dfrac{d}{dx}\big(u(x)^{-1}\big) usando a regra do produto. Considere a identidade
u(x)\cdot u(x)^{-1}=1.
Diferenciando os dois lados em relação a x e aplicando a regra do produto (que diz que \dfrac{d}{dx}(a\cdot b)=a'\cdot b + a\cdot b' para funções a,b) obtemos:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\big)\cdot u(x)^{-1} + u(x)\cdot \frac{d}{dx}\big(u(x)^{-1}\big) = 0.
Aqui \dfrac{d}{dx}\big(u(x)\big) é a derivada de u, que denoto por u'(x).

Passo 3

Isolando \dfrac{d}{dx}\big(u(x)^{-1}\big) na igualdade do Passo 2 temos:
u(x)\cdot \frac{d}{dx}\big(u(x)^{-1}\big) = -u'(x)\cdot u(x)^{-1}.
Dividindo ambos os lados por u(x) (lembrando que u(x)\neq0 no domínio considerado) resulta
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{-1}\big) = -\frac{u'(x)}{u(x)^{2}}.
Essa é a fórmula geral: a derivada do recíproco é o negativo da derivada de u sobre u^2.

Passo 4

Aplicando o lema ao caso u(x)=\operatorname{sen} x. Sabemos pelo enunciado que
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)=\cos x.
Logo, pela fórmula do Passo 3,
\frac{d}{dx}\big((\operatorname{sen} x)^{-1}\big) = -\frac{\cos x}{(\operatorname{sen} x)^{2}}.
Como \operatorname{cossec} x = (\operatorname{sen} x)^{-1}, podemos reescrever:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{cossec} x\big) = -\frac{\cos x}{(\operatorname{sen} x)^{2}}.

Passo 5

Transformação algébrica final para obter a forma pedida. Observe que
-\frac{\cos x}{(\operatorname{sen} x)^{2}} = -\left(\frac{1}{\operatorname{sen} x}\right)\!\left(\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right).
Pela definição \operatorname{cossec} x=\dfrac{1}{\operatorname{sen} x} e \cot x=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}, obtemos
-\frac{\cos x}{(\operatorname{sen} x)^{2}} = -\operatorname{cossec} x\;\cot x.
Portanto chegamos exatamente à relação desejada. Observação sobre domínio: essa derivada só faz sentido onde \operatorname{sen} x\neq 0, ou seja, fora dos pontos em que a função \operatorname{cossec} x não é definida.

Resposta

\displaystyle -\operatorname{cossec} x\cot x

Exercícios relacionados