Usando o fato de que
e
, prove as relações abaixo usando as propriedades operatórias das derivadas.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. Foi dado que
e
.
Pede-se para provar que
Pede-se para provar que
Informações relevantes que usarei (retiradas do enunciado e definições usuais):
-
é a função recíproca de , isto é . -
é .
A partir disso vamos derivar passo a passo usando propriedades operatórias das derivadas (produto, derivada de recíproco / regra da cadeia).
Passo 2
Lema útil (derivada do recíproco). Seja uma função
diferenciável e não nula. Quero obter a fórmula para
usando a regra do produto. Considere a identidade
Diferenciando os dois lados em relação a
e aplicando a regra do produto (que diz que
para funções
) obtemos:
Aqui
é a derivada de
, que denoto por
.
Passo 3
Isolando
na igualdade do Passo 2 temos:
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
no domínio considerado) resulta
Essa é a fórmula geral: a derivada do recíproco é o negativo da derivada de
sobre
.
Passo 4
Aplicando o lema ao caso
. Sabemos pelo enunciado que
Logo, pela fórmula do Passo 3,
Como
, podemos reescrever:
Passo 5
Transformação algébrica final para obter a forma pedida. Observe que
Pela definição
e
, obtemos
Portanto chegamos exatamente à relação desejada. Observação sobre domínio: essa derivada só faz sentido onde
, ou seja, fora dos pontos em que a função
não é definida.