Determine se existe ou não f^{\prime}(0), onde
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) & \text { se } & x \neq 0 \\ 0 & \text { se } & x=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x\sin\bigl(\tfrac1x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0, \end{cases}
e pede para verificar se existe f'(0). O conteúdo aqui é a definição de derivada num ponto e o estudo de limite.

Passo 2

Pela definição de derivada em x=0, temos
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.

Passo 3

Como f(0)=0 e para h\neq0, f(h)=h\sin\bigl(\tfrac1h\bigr), o quociente torna-se
\frac{f(h)-f(0)}{h} =\frac{h\sin\bigl(\tfrac1h\bigr)}{h} =\sin\bigl(\tfrac1h\bigr).

Passo 4

Estudamos agora
\lim_{h\to0}\sin\bigl(\tfrac1h\bigr).
À medida que h\to0, o termo \tfrac1h varia sem convergir, fazendo \sin(\tfrac1h) oscilar entre -1 e 1 sem um valor único. Logo esse limite não existe.

Resposta

Não existe f'(0).

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