[2] [3.0 pontos] Seja o operador linear
definido por
.
(a) Obtenha os autovalores e os autovetores associados do operador linear T definido acima.
(b)
operador linear
é diagonalizável. Justifique.
(a) Obtenha os autovalores e os autovetores associados do operador linear T definido acima.
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear
definido por
Queremos (a) encontrar os autovalores e autovetores de
e (b) decidir se
é diagonalizável. Para isso, vamos usar o polinômio característico de sua matriz na base canônica, resolver
e depois achar vetores próprios associados.
Passo 2
Escrevendo
na base canônica, a matriz associada é
Para achar os autovalores, formamos
e calculamos seu determinante.]
Passo 3
O polinômio característico é
Expandindo,
Assim, resolvemos
logo os autovalores são
Passo 4
Para
, resolvemos
, ou seja
Da primeira linha vem
, então
. Um autovetor é, por exemplo,
Para
, resolvemos
, i.e.
Um autovetor correspondente é
Passo 5
Como encontramos dois autovalores distintos
e
em
, eles geram dois autovetores linearmente independentes. Em
isso garante uma base de autovetores, ou seja,
é diagonalizável.
Resposta
(a) Os autovalores são
e
. Vetores próprios: para
temos
e para
temos
.
(b) é diagonalizável porque possui dois autovalores reais distintos, produzindo dois autovetores linearmente independentes que formam base de
.
(b)