Encontre os pontos de máximo e de minimo da função
sujeita à restrição
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e de mínimo da função
sob a restrição
.
Informações dadas:
- A função é
. - A restrição é
.
O que se pede:
- Determinar os pontos críticos da função
quando os pontos estão restritos à superfície (plano) definida por . - Classificar esses pontos como máximo local, mínimo local, sela ou indicar se há máximo/minimo global.
Passo 2
Método escolhido (explicação breve e motivação): para problemas de otimização de uma função com uma restrição escalar, uma técnica padrão é multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, em um extremo restrito, o gradiente de
fica paralelo ao gradiente da função restrição
. Vou aplicar esse método passo a passo e explicar cada equação.
Breve aula sobre multiplicadores de Lagrange:
- Definir a função restrição
- Formar a Lagrangiana
- As condições de extremum restrito exigem as equações de primeira ordem:
- Em palavras:
e a restrição precisa ser satisfeita.
Passo 3
Aplicando Lagrange ao problema:
Escrevo a Lagrangiana:
Calculo as derivadas parciais e igualo a zero:
e a restrição
Das três primeiras equações obtemos:
Passo 4
Resolver o sistema das equações
.
Subtraindo pares obtemos:
Essas igualdades implicam que, para cada par, ou os dois elementos são iguais ou um dos fatores é zero. Portanto há duas possibilidades principais:
- Caso A: nenhum dos números
é zero e, em consequência, precisamos ter . - Caso B: algum dos números é zero, o que pode forçar
e normalmente leva a soluções com pelo menos duas coordenadas zero (veremos).
Passo 5
Analisar o Caso A (nenhum zero): então
. Pela restrição:
Logo um candidato é
. O valor da função é
Passo 6
Analisar o Caso B (alguma coordenada zero).
Se por exemplo
, então das equações
e
com
obtemos
e
. Com
e
e a restrição
, isso força que pelo menos uma das outras duas seja zero? Vamos ver possibilidades concretas:
- Se
e então da restrição , ponto . - Se
e então , ponto . - Se
e por exemplo então obriga , voltando aos casos acima.
Portanto os pontos possíveis neste caso são as permutações de
, isto é:
Nesses pontos temos
e
.
Passo 7
Resumo dos pontos críticos obtidos pelas equações de Lagrange:
-
com . -
com .
Agora precisamos classificar esses pontos (máximo local, mínimo local, sela, e se há máximos/minimos globais).
Passo 8
Classificação de
(teste prático, explicado passo a passo):
Para estudar se
é máximo ou mínimo restrito, podemos fazer um pequeno deslocamento que preserve a restrição. Impondo
,
com
e
pequenos, então pela restrição
Substituo em
:
Faço a expansão em ordem até termos termos quadráticos (ignorando termos cúbicos e superiores porque para caracterizar um extremo local basta ver o sinal do termo quadrático):
Portanto, para
pequenos:
O termo quadrático
é uma forma quadrática positiva definida (matriz
tem autovalores positivos), logo
é negativa definida. Isso mostra que
diminui para qualquer deslocamento pequeno (não nulo) que preserve a restrição, ou seja,
é um ponto de máximo local restrito. Valor do máximo local:
.
Passo 9
Classificação dos pontos
e permutações:
Faço um teste qualitativo: perto de
parametrizo por
,
pequenos e
. Então
Como
pode assumir sinais positivos e negativos dependendo do sinal de
e
, em qualquer vizinhança de
existem pontos onde
é positivo e outros onde é negativo. Isso caracteriza um ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo local). O mesmo vale para as outras permutações
e
.
Passo 10
Existência de máximos/minimos globais:
Mostro que não há extremos globais porque
é ilimitada tanto para
quanto para
ao longo do plano
.
Exemplos que mostram afastamento:
- Tome
. Então e Para temos . - Tome
. Então e Para temos .
Portanto
não tem máximo global nem mínimo global sobre a restrição
.
Resposta
Ponto de máximo local:
com
.
Pontos críticos do tipo sela: ,
,
(cada um com
).
Não existem mínimo local nem máximos/minímos globais: é ilimitada acima e abaixo na restrição.
Pontos críticos do tipo sela:
Não existem mínimo local nem máximos/minímos globais: