Determine se existem pontos criticos para as funções abaixo. Verifique se esses pontos são de máximo e/ou de minimo:
z=x^{2}+x y+y^{2}-3 x+2

Passo 1

O enunciado dá a função z=x^{2}+x y+y^{2}-3 x+2 e pede duas coisas:
  • Determinar se existem pontos críticos (ou seja, pontos em que o gradiente é nulo).
  • Classificar esses pontos como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Informações relevantes que temos imediatamente:
  • A função está definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Para encontrar pontos críticos precisamos calcular as derivadas parciais primeiras e resolver o sistema \nabla z=0.
  • Para classificar usaremos as segundas derivadas (matriz Hessiana) e o teste de segunda derivada para funções de duas variáveis.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente). Vou explicar passo a passo o que é e como calcular:
  • A derivada parcial em relação a x mede a taxa de variação de z quando só x muda e y é mantido fixo.
  • A derivada parcial em relação a y mede a taxa de variação de z quando só y muda e x é mantido fixo.
Compute:
\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y-3
\frac{\partial z}{\partial y}=x+2y
Ponto crítico é solução do sistema
\begin{cases} 2x+y-3=0,\\[4pt] x+2y=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema de equações lineares. Vou resolver de forma bem detalhada:
Da segunda equação temos
x+2y=0\quad\Rightarrow\quad x=-2y.
Substituindo na primeira:
2(-2y)+y-3=0.
Calcule passo a passo:
-4y+y-3=0\quad\Rightarrow\quad -3y-3=0.
Isolando y:
-3y=3\quad\Rightarrow\quad y=-1.
Agora x=-2y=-2(-1)=2.
Portanto existe exatamente um ponto crítico: (x,y)=(2,-1).

Passo 4

Agora vamos classificar o ponto crítico. Primeiro explico o que é a matriz Hessiana e o teste de segunda derivada em duas variáveis:
  • A matriz Hessiana H contém as segundas derivadas parciais da função; para duas variáveis:
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}\\[6pt] \frac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
  • O teste: compute o determinante D=\det H no ponto crítico e o valor de \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} nesse ponto.
    • Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}>0 então é mínimo local.
    • Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}<0 então é máximo local.
    • Se D<0 então é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calcular as segundas derivadas para a nossa função:
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=1,\qquad \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=2.
Assim a Hessiana é
H=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
Calcular o determinante:
D=\det H = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 4-1=3.
Temos D=3>0 e \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=2>0. Pelo teste, o ponto crítico (2,-1) é um mínimo local.]

Passo 5

Explico por que, no caso de funções quadráticas como esta, esse mínimo local é também mínimo global (dica rápida e intuitiva).
  • A função é um polinômio quadrático em (x,y); sua forma quadrática principal corresponde à matriz simétrica
A=\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & 1\end{pmatrix},
cuja positividade pode ser verificada pelos autovalores ou pelo fato de H ter determinante positiva e diagonais positivas: os autovalores de H são 1 e 3, ambos positivos, logo a forma quadrática é definida positiva. Isso implica que z\to+\infty quando \|(x,y)\|\to\infty, então qualquer mínimo local é global.
Para deixar mais concreto e didático, faço também a técnica do completar quadrados (já que eu gosto de ver homenagem às antigas aulas):
Começo escrevendo
z=x^{2}+x y+y^{2}-3x+2.
Agrupo para completar quadrado em x:
z = x^{2}+x(y-3)+y^{2}+2 = \left(x+\frac{y-3}{2}\right)^{2}-\frac{(y-3)^{2}}{4}+y^{2}+2.
Simplificando os termos em y e completando quadrado em y obtemos (passo a passo mostrado nos cálculos):
z=\left(x+\frac{y-3}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}(y+1)^{2}-1.
Da expressão acima vê-se claramente que soma-se uma coisa não negativa \left(x+\frac{y-3}{2}\right)^{2} e outra não negativa \frac{3}{4}(y+1)^{2} e subtrai 1. Portanto o menor valor possível de z é -1, alcançado quando as duas quadrados são zero simultaneamente, ou seja quando
y+1=0\Rightarrow y=-1,
e então
x+\frac{y-3}{2}=0\Rightarrow x+\frac{-1-3}{2}=x-2=0\Rightarrow x=2.
Isso confirma que (2,-1) é um ponto de mínimo e que z_{\min}=-1. A estrutura como soma de quadrados com coeficientes positivos mostra que é mínimo global.]

Passo 6

Resumo interpretativo e incentivo: encontramos um único ponto crítico em (2,-1). Pelo teste da Hessiana (ou completando quadrados) concluímos que é mínimo, e como a forma quadrática é definida positiva, é mínimo global com valor -1. Boa! Você conseguiu acompanhar todos os passos — na prova faça a derivada, resolva o sistema linear e aplique o teste da Hessiana; se quiser confirmar, completar o quadrado é um atalho elegante para quadráticas.

Resposta

(x,y)=(2,-1) — mínimo global, z_{\min}=-1

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