cuja positividade pode ser verificada pelos autovalores ou pelo fato de H ter determinante positiva e diagonais positivas: os autovalores de H são 1 e 3, ambos positivos, logo a forma quadrática é definida positiva. Isso implica que z\to+\infty quando \|(x,y)\|\to\infty, então qualquer mínimo local é global.
Para deixar mais concreto e didático, faço também a técnica do completar quadrados (já que eu gosto de ver homenagem às antigas aulas):
Começo escrevendo
z=x^{2}+x y+y^{2}-3x+2.
Agrupo para completar quadrado em x:
z = x^{2}+x(y-3)+y^{2}+2 = \left(x+\frac{y-3}{2}\right)^{2}-\frac{(y-3)^{2}}{4}+y^{2}+2.
Simplificando os termos em y e completando quadrado em y obtemos (passo a passo mostrado nos cálculos):
Da expressão acima vê-se claramente que soma-se uma coisa não negativa \left(x+\frac{y-3}{2}\right)^{2} e outra não negativa \frac{3}{4}(y+1)^{2} e subtrai 1. Portanto o menor valor possível de z é -1, alcançado quando as duas quadrados são zero simultaneamente, ou seja quando
Isso confirma que (2,-1) é um ponto de mínimo e que z_{\min}=-1. A estrutura como soma de quadrados com coeficientes positivos mostra que é mínimo global.]
Passo 6
Resumo interpretativo e incentivo: encontramos um único ponto crítico em (2,-1). Pelo teste da Hessiana (ou completando quadrados) concluímos que é mínimo, e como a forma quadrática é definida positiva, é mínimo global com valor -1. Boa! Você conseguiu acompanhar todos os passos — na prova faça a derivada, resolva o sistema linear e aplique o teste da Hessiana; se quiser confirmar, completar o quadrado é um atalho elegante para quadráticas.