Determine se existem pontos criticos para as funções abaixo. Verifique se esses pontos são de máximo e/ou de minimo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
- Determinar se existem pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente é zero).
- Classificar cada ponto crítico: é mínimo, máximo ou ponto de sela?
Informações dadas:
- A função explícita
. - Não há restrições no domínio (assume-se
).
Passo 2
O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (passo-a-passo didático).
- Um ponto crítico é um ponto onde todas as derivadas parciais primeiras se anulam simultaneamente, isto é, onde o gradiente
é o vetor nulo. - Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais de
em relação a .
Calculemos as derivadas parciais (mostrando cada termo):
- Derivada em relação a
: a derivada de é ; de é ; de é ; constantes desaparecem. Logo
- Derivada em relação a
: a derivada de é ; de é . Logo
- Derivada em relação a
: a derivada de é ; de é . Logo
O gradiente é, portanto,
Passo 3
Resolver o sistema
Resolvendo passo a passo:
- Da segunda equação obtemos
- Substituindo
na expressão de :
- Substituindo
e na primeira equação:
- Com
segue e .
Conclusão deste passo: existe exatamente um ponto crítico, que é
.]
Passo 4
Como classificar o ponto crítico — ideia e ferramenta usada.
- Para funções de várias variáveis, usa-se a matriz Hessiana (matriz das derivadas segundas) no ponto crítico.
- Se a Hessiana for definida positiva em um ponto crítico, o ponto é um mínimo local (estrito); se for definida negativa, é máximo local; se indefinida, é ponto de sela.
- Para matrizes simétricas reais (como a Hessiana aqui), uma maneira prática de testar definida positividade é o critério de Sylvester: todos os menores principais superiores (determinantes dos blocos superiores esquerdos) devem ser positivos.
Passo 5
Calcular a Hessiana e aplicar o critério de Sylvester (com todos os detalhes).
Derivadas segundas (constantes porque é quadrática):
Derivadas segundas (constantes porque
-
. -
. -
. - Mistas:
(vindo do termo ). -
(vindo do termo ). -
(não há termo ).
A matriz Hessiana é, portanto,
Aplicando o critério de Sylvester (menores principais superiores):
- Primeiro menor principal
- Segundo menor principal (determinante do bloco
superior esquerdo):
- Terceiro menor (determinante de
):
Calculemos com desenvolvimento por cofatores na primeira linha:
Agora cada determinante:
Substituindo:
- Como todos os menores principais superiores
são positivos, pelo critério de Sylvester a matriz é definida positiva.]
Passo 6
Interpretação e conclusão final (didática e intuitiva).
- Hessiana definida positiva no ponto crítico significa que
tem um mínimo estrito naquele ponto. Além disso, é uma forma quadrática positiva mais uma constante, portanto é estritamente convexa no espaço inteiro; isso implica que o único ponto crítico é o mínimo global. - Valor da função no ponto crítico:
Comentário de incentivo: deu trabalho, mas o método é mecânico — calcular gradiente, resolver o sistema linear e checar a Hessiana com Sylvester. Na prova isso é direto e rápido quando se pratica um pouco.
Resposta
Não há pontos de máximo.