Determine se existem pontos criticos para as funções abaixo. Verifique se esses pontos são de máximo e/ou de minimo:
f(x, y, z)=2 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}+x y+x z+2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f(x,y,z)=2x^{2}+4y^{2}+z^{2}+xy+xz+2:
  • Determinar se existem pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente é zero).
  • Classificar cada ponto crítico: é mínimo, máximo ou ponto de sela?
Informações dadas:
  • A função explícita \;f(x,y,z)=2x^{2}+4y^{2}+z^{2}+xy+xz+2\;.
  • Não há restrições no domínio (assume-se (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}).

Passo 2

O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (passo-a-passo didático).
  • Um ponto crítico é um ponto onde todas as derivadas parciais primeiras se anulam simultaneamente, isto é, onde o gradiente \nabla f é o vetor nulo.
  • Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x,y,z.
Calculemos as derivadas parciais (mostrando cada termo):
  • Derivada em relação a x: a derivada de 2x^{2} é 4x; de xy é y; de xz é z; constantes desaparecem. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=4x+y+z.
  • Derivada em relação a y: a derivada de 4y^{2} é 8y; de xy é x. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=8y+x.
  • Derivada em relação a z: a derivada de z^{2} é 2z; de xz é x. Logo
\frac{\partial f}{\partial z}=2z+x.
O gradiente é, portanto,
\nabla f(x,y,z)=\bigl(4x+y+z,\;x+8y,\;x+2z\bigr).

Passo 3

Resolver o sistema \nabla f=0\) para achar pontos críticos. Escrevemos o sistema de equações lineares: \[\begin{cases} 4x+y+z=0,\\[4pt] x+8y=0,\\[4pt] x+2z=0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
  • Da segunda equação x+8y=0\] obtemos \[x=-8y.\] - Da terceira equação \(x+2z=0 obtemos
z=-\tfrac{x}{2}.
  • Substituindo x=-8y na expressão de z:
z=-\tfrac{-8y}{2}=4y.
  • Substituindo x=-8y e z=4y na primeira equação:
4(-8y)+y+(4y)= -32y+5y=-27y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
  • Com y=0 segue x=-8\cdot 0=0 e z=4\cdot 0=0.
Conclusão deste passo: existe exatamente um ponto crítico, que é \,(0,0,0).]

Passo 4

Como classificar o ponto crítico — ideia e ferramenta usada.
  • Para funções de várias variáveis, usa-se a matriz Hessiana (matriz das derivadas segundas) no ponto crítico.
  • Se a Hessiana for definida positiva em um ponto crítico, o ponto é um mínimo local (estrito); se for definida negativa, é máximo local; se indefinida, é ponto de sela.
  • Para matrizes simétricas reais (como a Hessiana aqui), uma maneira prática de testar definida positividade é o critério de Sylvester: todos os menores principais superiores (determinantes dos blocos superiores esquerdos) devem ser positivos.

Passo 5

Calcular a Hessiana e aplicar o critério de Sylvester (com todos os detalhes).
Derivadas segundas (constantes porque f é quadrática):
  • \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=4.
  • \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=8.
  • \dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}=2.
  • Mistas: \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=1 (vindo do termo xy).
  • \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z\partial x}=1 (vindo do termo xz).
  • \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z\partial y}=0 (não há termo yz).
A matriz Hessiana é, portanto,
H=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 8 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Aplicando o critério de Sylvester (menores principais superiores):
  • Primeiro menor principal \;D_{1}=\det(4)=4>0.
  • Segundo menor principal (determinante do bloco 2\times2 superior esquerdo):
D_{2}=\det\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]1 & 8\end{pmatrix}=4\cdot 8 - 1\cdot 1=32-1=31>0.
  • Terceiro menor (determinante de H):
    Calculemos com desenvolvimento por cofatores na primeira linha:
\det H =4\cdot\det\begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 8\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Agora cada determinante:
\det\begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=8\cdot 2-0=16,
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2-0\cdot 1=2,
\det\begin{pmatrix}1 & 8\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0-8\cdot 1=-8.
Substituindo:
\det H = 4\cdot 16 -1\cdot 2 +1\cdot(-8)=64-2-8=54>0.
  • Como todos os menores principais superiores D_{1},D_{2},D_{3} são positivos, pelo critério de Sylvester a matriz H é definida positiva.]

Passo 6

Interpretação e conclusão final (didática e intuitiva).
  • Hessiana definida positiva no ponto crítico significa que f tem um mínimo estrito naquele ponto. Além disso, f é uma forma quadrática positiva mais uma constante, portanto é estritamente convexa no espaço inteiro; isso implica que o único ponto crítico é o mínimo global.
  • Valor da função no ponto crítico:
f(0,0,0)=2\quad(\text{da constante do termo livre}).
Comentário de incentivo: deu trabalho, mas o método é mecânico — calcular gradiente, resolver o sistema linear e checar a Hessiana com Sylvester. Na prova isso é direto e rápido quando se pratica um pouco.

Resposta

(0,0,0) — ponto crítico único; mínimo estrito (global) com valor f(0,0,0)=2.
Não há pontos de máximo.

Exercícios relacionados