Determine se existem pontos criticos para as funções abaixo. Verifique se esses pontos são de máximo e/ou de minimo: f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y+2 x z+y z
Passo 1
O enunciado fornece a função
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y+2 x z+y z
e pede duas coisas:
Determinar se existem pontos críticos.
Se existirem, verificar se cada ponto crítico é ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela (nem máximo nem mínimo).
Informações relevantes dadas: a função é um polinômio quadrático em três variáveis, sem termos lineares.
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicação didática e passo a passo):
Em funções de várias variáveis, um ponto crítico é um ponto onde o gradiente da função é o vetor zero (ou onde as derivadas parciais não existem). Aqui as derivadas existem em todo lugar, então basta resolver \nabla f(x,y,z)=0.
Vou calcular cada derivada parcial explicitamente (mostrando como fazer para você poder reproduzir na prova).
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (mostrando cada termo):
Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: derivada de x^{2} é 2x; de -xy em relação a x é -y; de 2xz é 2z; os outros termos não dependem de x. Logo
\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x-y+2z.
Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: derivada de y^{2} é 2y; de -xy em relação a y é -x; de yz é z; os outros termos não dependem de y. Logo
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2y-x+z.
Para \dfrac{\partial f}{\partial z}: derivada de z^{2} é 2z; de 2xz em relação a z é 2x; de yz é y. Logo
\dfrac{\partial f}{\partial z}=2z+2x+y.
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo \nabla f=0\). O sistema é
\[\begin{cases} 2x - y + 2z = 0,\\[4pt] - x + 2y + z = 0,\\[4pt] 2x + y + 2z = 0. \end{cases}
Vou resolver passo a passo (maneira simples que dá para fazer a mão na prova):
Subtraindo a terceira equação da primeira: (2x-y+2z)-(2x+y+2z) = 0-0\] dá \(-2y=0, então
y=0.
Colocando y=0 na primeira equação: 2x + 2z = 0 então
x = -z.
Colocando y=0 e x=-z na segunda equação: -(-z) + 2\cdot 0 + z = 0 que é z + z = 0, logo 2z=0 e
z=0.
Com z=0 vem x=-z=0.
Portanto a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Conclusão parcial: existe exatamente um ponto crítico, na origem.]
Passo 5
Como classificar esse ponto crítico? (aula rápida e prática)
Para funções duas ou mais variáveis, a classificação local (mínimo, máximo ou sela) pode ser feita examinando a matriz Hessiana no ponto crítico.
Interpretação prática (forma que normalmente pedem na prova): se a Hessiana é definida positiva no ponto (todos os autovalores positivos) então é mínimo local; se definida negativa (todos autovalores negativos) então é máximo local; se indefinida (tem autovalores de sinais diferentes) é ponto de sela. Uma maneira de testar definida positiva é usar os menores principais determinantes (critério de Sylvester): para matriz 3\times3 simétrica, se os determinantes dos principais menores superiores à esquerda forem todos positivos então é definida positiva.]
Passo 6
Calcular a Hessiana explicitamente (mostrando cada entrada):
Interpretação dos sinais e conclusão (explicação didática):
Para definida positiva precisaríamos de D_{1}>0,\;D_{2}>0,\;D_{3}>0. Aqui D_{1}>0, D_{2}>0 mas D_{3}<0. Portanto H não é definida positiva.
O sinal negativo de \det H (produto dos autovalores) indica que nem todos os autovalores têm o mesmo sinal — existem autovalores positivos e negativos. Isso significa que a Hessiana é indefinida.
Uma Hessiana indefinida no ponto crítico implica que o ponto é um ponto de sela: em algumas direções a função cresce (comportamento de mínimo), em outras ela decresce (comportamento de máximo). Portanto não é nem máximo local nem mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0,0).
Esse ponto é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo).