Determine se existem pontos criticos para as funções abaixo. Verifique se esses pontos são de máximo e/ou de minimo:
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y+2 x z+y z

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y+2 x z+y z
e pede duas coisas:
  • Determinar se existem pontos críticos.
  • Se existirem, verificar se cada ponto crítico é ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela (nem máximo nem mínimo).
Informações relevantes dadas: a função é um polinômio quadrático em três variáveis, sem termos lineares.

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicação didática e passo a passo):
  • Em funções de várias variáveis, um ponto crítico é um ponto onde o gradiente da função é o vetor zero (ou onde as derivadas parciais não existem). Aqui as derivadas existem em todo lugar, então basta resolver \nabla f(x,y,z)=0.
  • O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\; \dfrac{\partial f}{\partial y},\; \dfrac{\partial f}{\partial z}\right).
Vou calcular cada derivada parcial explicitamente (mostrando como fazer para você poder reproduzir na prova).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (mostrando cada termo):
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: derivada de x^{2} é 2x; de -xy em relação a x é -y; de 2xz é 2z; os outros termos não dependem de x. Logo
\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x-y+2z.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: derivada de y^{2} é 2y; de -xy em relação a y é -x; de yz é z; os outros termos não dependem de y. Logo
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2y-x+z.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial z}: derivada de z^{2} é 2z; de 2xz em relação a z é 2x; de yz é y. Logo
\dfrac{\partial f}{\partial z}=2z+2x+y.

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo \nabla f=0\). O sistema é \[\begin{cases} 2x - y + 2z = 0,\\[4pt] - x + 2y + z = 0,\\[4pt] 2x + y + 2z = 0. \end{cases}
Vou resolver passo a passo (maneira simples que dá para fazer a mão na prova):
  • Subtraindo a terceira equação da primeira: (2x-y+2z)-(2x+y+2z) = 0-0\] dá \(-2y=0, então
y=0.
  • Colocando y=0 na primeira equação: 2x + 2z = 0 então
x = -z.
  • Colocando y=0 e x=-z na segunda equação: -(-z) + 2\cdot 0 + z = 0 que é z + z = 0, logo 2z=0 e
z=0.
  • Com z=0 vem x=-z=0.
Portanto a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Conclusão parcial: existe exatamente um ponto crítico, na origem.]

Passo 5

Como classificar esse ponto crítico? (aula rápida e prática)
  • Para funções duas ou mais variáveis, a classificação local (mínimo, máximo ou sela) pode ser feita examinando a matriz Hessiana no ponto crítico.
  • A Hessiana H é a matriz das segundas derivadas:
H=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z} \\[6pt] \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z} \\[6pt] \dfrac{\partial^{2}f}{\partial z\partial x} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial z\partial y} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} \end{pmatrix}.
  • Interpretação prática (forma que normalmente pedem na prova): se a Hessiana é definida positiva no ponto (todos os autovalores positivos) então é mínimo local; se definida negativa (todos autovalores negativos) então é máximo local; se indefinida (tem autovalores de sinais diferentes) é ponto de sela. Uma maneira de testar definida positiva é usar os menores principais determinantes (critério de Sylvester): para matriz 3\times3 simétrica, se os determinantes dos principais menores superiores à esquerda forem todos positivos então é definida positiva.]

Passo 6

Calcular a Hessiana explicitamente (mostrando cada entrada):
  • Das derivadas do Passo 3:
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2,\qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2,\qquad \dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}=2.
  • Mistas:
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x-y+2z)=-1,
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(2x-y+2z)=2,
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(2y-x+z)=1.
Como a Hessiana é simétrica, as entradas abaixo da diagonal são iguais às de cima. Assim
H=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Aplicar o critério dos menores principais (Sylvester) para H:
  • Primeiro menor principal (primeira entrada):
D_{1}=2>0.
  • Segundo menor principal (determinante do bloco 2\times2 superior esquerdo):
D_{2}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot 2 - (-1)\cdot(-1)=4-1=3>0.
  • Terceiro menor (determinante de H):
    Calcular cuidadosamente:
\det H = 2\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Agora os determinantes 2x2:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=4-1=3,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2 - 1\cdot 2 = -2-2=-4,
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot 1 - 2\cdot 2 = -1-4=-5.
Substituindo:
\det H = 2\cdot 3 -(-1)\cdot(-4) + 2\cdot(-5) = 6 - 4 -10 = -8.
Logo
D_{3}=\det H = -8 < 0.]

Passo 8

Interpretação dos sinais e conclusão (explicação didática):
  • Para definida positiva precisaríamos de D_{1}>0,\;D_{2}>0,\;D_{3}>0. Aqui D_{1}>0, D_{2}>0 mas D_{3}<0. Portanto H não é definida positiva.
  • O sinal negativo de \det H (produto dos autovalores) indica que nem todos os autovalores têm o mesmo sinal — existem autovalores positivos e negativos. Isso significa que a Hessiana é indefinida.
  • Uma Hessiana indefinida no ponto crítico implica que o ponto é um ponto de sela: em algumas direções a função cresce (comportamento de mínimo), em outras ela decresce (comportamento de máximo). Portanto não é nem máximo local nem mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0,0).
Esse ponto é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo).

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