(ANPEC) Dada a função f(x, y)=2 x^{2}+x y^{2}+y^{2}, responda se as afirmaçōes abaixo são verdadeiras ou falsas:
a) (0,0) é ponto de mínimo de f;
b) (-1,2) é ponto de sela de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x^{2}+x y^{2}+y^{2} e pede para decidir se as duas afirmações são verdadeiras ou falsas:
  • (a) (0,0) é ponto de mínimo de f;
  • (b) (-1,2) é ponto de sela de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y): f(x,y)=2x^{2}+x y^{2}+y^{2}.
  • Os pontos a serem investigados: (0,0) e (-1,2).

Passo 2

O que vamos precisar usar (explicação didática do que é necessário):
  • Para classificar pontos em funções de duas variáveis, primeiro encontramos os pontos críticos: são pontos onde o gradiente é o vetor nulo, isto é, as derivadas parciais primeiras são zero simultaneamente.
  • O gradiente de f é o vetor \nabla f=(f_x,f_y), onde f_x é a derivada parcial de f em relação a x e f_y em relação a y.
  • Após achar pontos críticos, usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas)
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
  • O teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis: calcular o determinante D=\det H=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} numa vizinhança do ponto crítico. As regras (versão prática):
    • Se D>0 e f_{xx}>0 no ponto crítico, então é mínimo local (estrito).
    • Se D>0 e f_{xx}<0, então é máximo local.
    • Se D<0, então é ponto de sela.
    • Se D=0, o teste é inconclusivo.
  • Vou aplicar isso passo a passo: calcular derivadas, achar pontos críticos, montar Hessiana e avaliar em (0,0) e (-1,2).]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras (mostrando cada conta):
  • Derivando f(x,y)=2x^{2}+x y^{2}+y^{2} em relação a x, tratamos y como constante:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(x y^{2}) + \frac{\partial}{\partial x}(y^{2}) = 4x + y^{2} + 0.
Logo \;f_x=4x+y^{2}.
  • Derivando em relação a y, tratamos x como constante:
f_y = \frac{\partial}{\partial y}(2x^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(x y^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) = 0 + 2xy + 2y.
Fatorando, \;f_y=2y(x+1).

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f=(0,0)\), ou seja \[\begin{cases} 4x+y^{2}=0,\\[4pt] 2y(x+1)=0. \end{cases}
Resolver por casos a partir da segunda equação (2y(x+1)=0]:
  • Caso 1: y=0. Substituindo em 4x+y^{2}=0 4x+0=0, portanto x=0. Isso produz o ponto crítico (0,0).
  • Caso 2: x+1=0, isto é x=-1. Substituindo em 4x+y^{2}=0 4(-1)+y^{2}=0 então -4 + y^{2}=0, logo y^{2}=4 e y=\pm 2. Isso produz os pontos críticos (-1,2) e (-1,-2).
Portanto os pontos críticos incluem os dois pontos do enunciado: (0,0) e (-1,2).]

Passo 5

Agora precisamos da Hessiana. Primeiro calculamos as segundas derivadas (cada passo explicado):
  • Já temos f_x=4x+y^{2}. Derivando em relação a x
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(4x+y^{2})=4.
  • Derivando f_x em relação a y
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(4x+y^{2})=2y.
  • Como f_{yx}=f_{xy} (função com segundas derivadas contínuas), temos f_{yx}=2y.
  • Já tínhamos f_y=2y(x+1). Derivando isso em relação a y
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y(x+1)\bigr)=2(x+1).
Assim a Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} 4 & 2y \\[4pt] 2y & 2(x+1) \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular o determinante da Hessiana (fórmula e simplificação):
D(x,y)=\det H = 4\cdot 2(x+1) - (2y)^{2} = 8(x+1) - 4y^{2}.
Fatorando,
D(x,y)=4\bigl(2(x+1)-y^{2}\bigr).
Esse D avaliado no ponto crítico decide (com f_{xx}=4 já conhecido).

Passo 7

Classificação no ponto (0,0) (passo a passo com substituições):
  • Avaliar a Hessiana em (0,0): x=0, y=0.
  • Calcular D(0,0)=4\bigl(2(0+1)-0^{2}\bigr)=4\cdot 2=8. Portanto D(0,0)=8>0.
  • Também f_{xx}(0,0)=4>0.
  • Pela regra: se D>0 e f_{xx}>0 então o ponto crítico é um mínimo local (estrito).
  • Conclusão técnica: (0,0) é um ponto de mínimo local de f.
Observação didática adicional (útil para prova): um ponto de mínimo local significa que existe uma vizinhança de (0,0) onde f(x,y)\ge f(0,0). Aqui f(0,0)=0. Note que isso não garante ser mínimo global (isto é outra história) — de fato, para alguns valores grandes de y e escolha adequada de x a função pode assumir valores negativos, então o mínimo é local, não global. Por exemplo, fixando y=3 e escolhendo x=-\dfrac{y^{2}}{4}=-\dfrac{9}{4}, obtém-se um valor de f negativo (isso mostra que não é mínimo global), mas isso é só uma observação extra.

Passo 8

Classificação no ponto (-1,2) (contas claras):
  • Avaliar em x=-1, y=2.
  • Primeiro f_{xx}(-1,2)=4>0 (constante).
  • Calcular D(-1,2)=4\bigl(2(-1+1)-2^{2}\bigr)=4\bigl(2\cdot 0 -4\bigr)=4(-4)=-16.
  • Observação: D(-1,2)=-16<0.
  • Pela regra: se D<0 o ponto crítico é um ponto de sela (saddle point).
  • Portanto (-1,2) é ponto de sela.

Passo 9

Resumo final do raciocínio (sem repetir somente as linhas de resposta):
  • Encontraram-se os pontos críticos resolvendo \nabla f=0.
  • A Hessiana e seu determinante foram usados para classificar cada ponto: (0,0) tem D>0 e f_{xx}>0 → mínimo local; (-1,2) tem D<0 → sela.

Resposta

a) Verdadeira\n
b) Verdadeira

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