(ANPEC) Dada a função
, responda se as afirmaçōes abaixo são verdadeiras ou falsas:
a)
é ponto de mínimo de
;
b)
é ponto de sela de
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para decidir se as duas afirmações são verdadeiras ou falsas:
- (a)
é ponto de mínimo de ; - (b)
é ponto de sela de .
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
: . - Os pontos a serem investigados:
e .
Passo 2
O que vamos precisar usar (explicação didática do que é necessário):
- Para classificar pontos em funções de duas variáveis, primeiro encontramos os pontos críticos: são pontos onde o gradiente é o vetor nulo, isto é, as derivadas parciais primeiras são zero simultaneamente.
- O gradiente de
é o vetor , onde é a derivada parcial de em relação a e em relação a . - Após achar pontos críticos, usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas)
- O teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis: calcular o determinante
numa vizinhança do ponto crítico. As regras (versão prática): - Se
e no ponto crítico, então é mínimo local (estrito). - Se
e , então é máximo local. - Se
, então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
- Se
- Vou aplicar isso passo a passo: calcular derivadas, achar pontos críticos, montar Hessiana e avaliar em
e .]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras (mostrando cada conta):
- Derivando
em relação a , tratamos como constante:
Logo
- Derivando em relação a
, tratamos como constante:
Fatorando,
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema
Resolver por casos a partir da segunda equação (2y(x+1)=0]:
-
Caso 1:
. Substituindo em dá , portanto . Isso produz o ponto crítico . -
Caso 2:
, isto é . Substituindo em dá então , logo e . Isso produz os pontos críticos e .
Portanto os pontos críticos incluem os dois pontos do enunciado:
e
.]
Passo 5
Agora precisamos da Hessiana. Primeiro calculamos as segundas derivadas (cada passo explicado):
- Já temos
. Derivando em relação a dá
- Derivando
em relação a dá
- Como
(função com segundas derivadas contínuas), temos . - Já tínhamos
. Derivando isso em relação a dá
Assim a Hessiana é
Passo 6
Calcular o determinante da Hessiana (fórmula e simplificação):
Fatorando,
Esse
avaliado no ponto crítico decide (com
já conhecido).
Passo 7
Classificação no ponto
(passo a passo com substituições):
- Avaliar a Hessiana em
: , . - Calcular
Portanto - Também
- Pela regra: se
e então o ponto crítico é um mínimo local (estrito). - Conclusão técnica:
é um ponto de mínimo local de .
Observação didática adicional (útil para prova): um ponto de mínimo local significa que existe uma vizinhança de
onde
. Aqui
. Note que isso não garante ser mínimo global (isto é outra história) — de fato, para alguns valores grandes de
e escolha adequada de
a função pode assumir valores negativos, então o mínimo é local, não global. Por exemplo, fixando
e escolhendo
, obtém-se um valor de
negativo (isso mostra que não é mínimo global), mas isso é só uma observação extra.
Passo 8
Classificação no ponto
(contas claras):
- Avaliar em
, . - Primeiro
(constante). - Calcular
- Observação:
- Pela regra: se
o ponto crítico é um ponto de sela (saddle point). - Portanto
é ponto de sela.
Passo 9
Resumo final do raciocínio (sem repetir somente as linhas de resposta):
- Encontraram-se os pontos críticos resolvendo
. - A Hessiana e seu determinante foram usados para classificar cada ponto:
tem e → mínimo local; tem → sela.
Resposta
a) Verdadeira\n
b) Verdadeira
b) Verdadeira