Determine, se existir, os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares T: R^2 R^2 dados por:
T(x, y)=(3 x+3 y, y)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear TcolonR^2toR^2 definido por
T(x,y) = (3x + 3y,,y)
Queremos encontrar os autovalores e os autovetores de T. Para isso, vamos representá-lo na base canônica, calcular o polinômio característico e, em seguida, resolver (A - lambda I)v = 0.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 3 & 3 [6pt] 0 & 1
O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = det!3-lambda & 3 [3pt] 0 & 1-lambda = (3-lambda),(1-lambda) ]

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
(3-lambda)(1-lambda)=0,
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lambda1 = 3 e lambda2 = 1

Passo 4

Para lambda = 3, formamos A - 3I:
A - 3I = 0 & 3 [3pt] 0 & -2
A equação (A-3I)(x,y)=0
0cdot x + 3y = 0 Longrightarrow y = 0,
e x fica livre. Assim os autovetores associados a lambda=3 são todos os múltiplos de
(1,0) ]

Passo 5

Para lambda = 1, formamos A - I:
A - I = 2 & 3 [3pt] 0 & 0
A equação (A-I)(x,y)=0
2x + 3y = 0 Longrightarrow x = -tfrac32,y
Tomando y=2 para evitar frações, um autovetor não-nulo é
(-3,2),
e os demais são seus múltiplos.]

Resposta

Os autovalores são lambda1 = 3 e lambda2 = 1.
Para lambda1=3, o espaço próprio é (t,0)mid tneq0 (autovetores proporcionais a (1,0)).
Para lambda2=1, o espaço próprio é t(-3,2)mid tneq0 (autovetores proporcionais a (-3,2)).

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