Determine, se existir, os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares
dados por:
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
definido por
Queremos encontrar os autovalores e os autovetores de
. Para isso, vamos representá-lo na base canônica, calcular o polinômio característico e, em seguida, resolver
.
Passo 2
A matriz de
na base canônica é
O polinômio característico de
é
Passo 3
Para achar os autovalores, resolvemos
logo
Passo 4
Para
, formamos
:
A equação
dá
e
fica livre. Assim os autovetores associados a
são todos os múltiplos de
Passo 5
Para
, formamos
:
A equação
dá
Tomando
para evitar frações, um autovetor não-nulo é
e os demais são seus múltiplos.]
Resposta
Os autovalores são
e
.
Para , o espaço próprio é
(autovetores proporcionais a
).
Para , o espaço próprio é
(autovetores proporcionais a
).
Para
Para