Determine, se existir, os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares T: R^2 R^2 dados por:
T(x, y)=(-y, x)

Passo 1

O enunciado fornece o operador linear Tcolon R^2toR^2 dado por
T(x,y)=(-y,x)
Queremos encontrar (se existirem em R) os autovalores lambda e os autovetores não nulos v=(x,y) tais que
T(v)=lambda v
O que vamos usar é o cálculo do polinômio característico de T e a resolução do sistema (T-lambda I)v=0.

Passo 2

Vamos escrever T na base canônica (1,0),(0,1). Para isso basta ver as imagens de (1,0) e (0,1):
T(1,0)=(0,1), T(0,1)=(-1,0)
Portanto a matriz de T é
A = 0 & -1[6pt] 1 & 0
]

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det! -lambda & -1[4pt] 1 & -lambda =lambda^2+1
As raízes desse polinômio são
lambda^2=-1 Longrightarrow lambda = pm i
]

Passo 4

Como , concluímos que não existem autovalores reais e, consequentemente, não existem autovetores reais não nulos.
Se permitirmos o espaço complexo , então os autovalores são e . Para cada um resolvemos
Para o sistema dá
logo um autovetor é .
Para temos analogamente , gerando um autovetor .

Resposta

Não existem autovalores reais de T em R^2.
Em C^2 os autovalores são
lambda=i com autovetor (1,-i)
e
lambda=-i com autovetor (1,i).

Exercícios relacionados