Determine, se existir, os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares
dados por:
Passo 1
O enunciado fornece o operador linear
dado por
Queremos encontrar (se existirem em
) os autovalores
e os autovetores não nulos
tais que
O que vamos usar é o cálculo do polinômio característico de
e a resolução do sistema
.
Passo 2
Vamos escrever
na base canônica
. Para isso basta ver as imagens de
e
:
Portanto a matriz de
é
]
Passo 3
O polinômio característico é
As raízes desse polinômio são
]
Passo 4
Como
, concluímos que não existem autovalores reais e, consequentemente, não existem autovetores reais não nulos.
Se permitirmos o espaço complexo , então os autovalores são
e
. Para cada um resolvemos
Se permitirmos o espaço complexo
Para
o sistema dá
logo um autovetor é
.
Para temos analogamente
, gerando um autovetor
.
Para
Resposta
Não existem autovalores reais de
em
.
Em os autovalores são
com autovetor
e
com autovetor
.
Em
e