Dê uma equação vetorial da reta r perpendicular ao plano pi de equação 10x-2y+4z-1=0, e que contém um diâmetro da superfície esférica S de equação x^2+y^2+z^2-4x-4y-8z+21=0.

Passo 1

O enunciado pede uma equação vetorial da reta r que seja perpendicular ao plano picolon 10x - 2y + 4z - 1 = 0 e que contenha um diâmetro da esfera
x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 4y - 8z + 21 = 0
Para isso, precisamos (1) encontrar o centro da esfera e (2) determinar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Para achar o centro da esfera, completamos quadrados em
x^2-4x + y^2-4y + z^2-8z +21 = 0,
obtendo
(x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-4)^2 = 3
Logo, o centro da esfera é C(2,2,4).

Passo 3

O vetor normal ao plano pi é dado pelos coeficientes de x,y,z, ou seja
n = (10,,-2,;4)
Como a reta é perpendicular ao plano, sua direção é paralela a n. Podemos simplificar este vetor para ,(5,-1,2).

Passo 4

A reta r deve passar pelo centro C e ter direção (5,-1,2). Assim, uma equação vetorial de r é
r(t) = (2,2,4) + t,(5,-1,2), tinR

Resposta

r(t) = (2,2,4) + t,(5,-1,2), tinR

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