Determine, se existir:
(b) F^{\prime}(1), em que F(x)=f(2 f(x)), f é derivável e f(1)=f^{\prime}(1)=1 / 2
Aplicando a Regra da Cadeia
F^prime(x) & =f^prime(2 f(x)) cdot[2 f(x)]^prime & =f^prime(2 f(x)) cdot 2 f^prime(x)
e
F^prime(1) & =f^prime(2 f(1)) cdot 2 f^prime(1) & =f^prime(2 cdot 1 / 2) cdot 2 cdot 1 / 2 & =f^prime(1) & =1 / 2

Passo 1

O enunciado dá F(x)=fl(2f(x)r), com f derivável e f(1)=f'(1)=tfrac12, e pede F'(1). Vamos usar a regra da cadeia para composições de funções.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia a F(x)=fl(2f(x)r), temos
F'(x)=f'l(2f(x)r)cdotl(2f(x)r)'
e como l(2f(x)r)'=2f'(x),
F'(x)=2,f'l(2f(x)r),f'(x)

Passo 3

Agora avaliamos em x=1:
F'(1)=2,f'l(2f(1)r),f'(1)

Passo 4

Como f(1)=tfrac12 e f'(1)=tfrac12, segue
F'(1)=2,f'l(2cdottfrac12r),tfrac12 =2,f'(1),tfrac12 =2cdottfrac12cdottfrac12 =tfrac12

Resposta

tfrac12

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