Exercício 16. Sejam
aberto e
funções duas vezes diferenciáveis. Definindo a função
por
encontre a expressão da forma bilinear
.
Dicas: Você pode utilizar o exercício anterior ou, alternativamente, usar a Regra da Cadeia ao expressar
como a composta das funções
e
,
.
Dicas: Você pode utilizar o exercício anterior ou, alternativamente, usar a Regra da Cadeia ao expressar
Passo 1
O enunciado define
aberto e duas funções duas vezes diferenciáveis
. Queremos achar a forma bilinear
onde
onde
Para isso vamos usar a regra da cadeia composta com o produto interno e depois calcular a segunda derivada.
Passo 2
Defina
por
e
por
. Então
e, pela regra da cadeia, para qualquer
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada aplicando a derivada de
na direção
. Primeiro
e em seguida
Passo 4
Como
, somando as parcelas obtemos finalmente