Exercício 16. Sejam U subseteq R^n aberto e f, g: U longrightarrow R^m funções duas vezes diferenciáveis. Definindo a função F: U longrightarrow R por
F(x)=lang<= f(x), g(x)rang<=,
encontre a expressão da forma bilinear F^prime prime(x)(u, v).
Dicas: Você pode utilizar o exercício anterior ou, alternativamente, usar a Regra da Cadeia ao expressar F como a composta das funções Psi: U longrightarrow R^m times R^m, Psi(x)=(f(x), g(x)) e B: R^m times R^m longrightarrow R, B(y, z)=lang<= y, zrang<=.

Passo 1

O enunciado define UsubseteqR^n aberto e duas funções duas vezes diferenciáveis f,g:UtoR^m. Queremos achar a forma bilinear
F''(x)(u,v)
onde
F(x)=lang<= f(x),,g(x)rang<=
Para isso vamos usar a regra da cadeia composta com o produto interno e depois calcular a segunda derivada.

Passo 2

Defina Psi:UtoR^mtimesR^m por Psi(x)=(f(x),g(x)) e B:R^mtimesR^mtoR por B(y,z)=lang<= y,zrang<=. Então F=BcircPsi e, pela regra da cadeia, para qualquer hinR^n
F'(x)cdot h =lang<= Df(x),h,;g(x)rang<= +lang<= f(x),;Dg(x),hrang<=

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada aplicando a derivada de F'(x)cdot u na direção v. Primeiro
partialpartial xllang<= Df(x),u,,g(x)rrang<=!(v) =lang<= D^2f(x)(u,v),,g(x)rang<= +lang<= Df(x),u,;Dg(x),vrang<=,
e em seguida
partialpartial xllang<= f(x),,Dg(x),urrang<=!(v) =lang<= Df(x),v,;Dg(x),urang<= +lang<= f(x),;D^2g(x)(v,u)rang<=

Passo 4

Como D^2g(x)(v,u)=D^2g(x)(u,v), somando as parcelas obtemos finalmente
F''(x)(u,v) =lang<= D^2f(x)(u,v),,g(x)rang<= +lang<= f(x),,D^2g(x)(u,v)rang<= +lang<= Df(x),u,;Dg(x),vrang<= +lang<= Df(x),v,;Dg(x),urang<=

Resposta

F''(x)(u,v) =lang<= D^2f(x)(u,v),,g(x)rang<= +lang<= f(x),,D^2g(x)(u,v)rang<= +lang<= Df(x),u,;Dg(x),vrang<= +lang<= Df(x),v,;Dg(x),urang<=

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