Usando alguma substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo:
integral d xx^2 raizx^2-4 d x

Passo 1

Estamos calculando a integral
integral dxx^2raizx^2-4
usando substituição trigonométrica para expressar raizx^2-4 de forma simples. Reconhecemos que temos uma raiz do tipo raizx^2-a^2 com a=2, então vamos usar
x=2sectheta

Passo 2

Fazendo a substituição x=2sectheta obtemos
dx = 2secthetatantheta,dtheta, raizx^2-4 = raiz4sec^2theta - 4 = 2tantheta
Além disso, x^2=4sec^2theta.

Passo 3

Substituindo tudo na integral original:
integral dxx^2raizx^2-4 = integral 2secthetatantheta,dtheta(4sec^2theta),(2tantheta) = integral 2secthetatantheta8sec^2thetatantheta,dtheta = 14integral costheta,dtheta

Passo 4

Integramos em theta:
14integral costheta,dtheta = 14sintheta + C

Passo 5

Voltando a variável x, de x=2sectheta temos sectheta = tfracx2 e
sintheta = tanthetasectheta = raizsec^2theta-1sectheta = raizx^24-1x2 = raizx^2-4x
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14sintheta = 14,raizx^2-4x

Resposta

integral dxx^2raizx^2-4 = raizx^2-44,x + C

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