Questão 6. Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Demonstre a(s) afirmação(ções) verdadeira(s) e exiba um contraexemplo para a(s) falsa(s).
(0,4) Se D subset R é um conjunto tal que o fecho de D é R, então D é não enumerável.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que um conjunto DsubsetR satisfaz D=R, então D deve ser não enumerável. Aqui vamos usar conceitos de fechamento de conjunto, densidade em R e enumerabilidade.

Passo 2

Mostramos que a afirmação é falsa, dando como contraexemplo o conjunto dos números racionais
D = Q
Sabemos que Q é enumerável (existe bijeção entre Q e N).

Passo 3

Agora provamos que Q=R. Seja xinR e epsilon>0. Pela densidade dos racionais existe pinQ tal que
|x-p|<epsilon
Isso mostra que todo intervalo aberto (x-epsilon,;x+epsilon) contém um elemento de Q, logo x pertence ao fechamento de Q. Como x era arbitrário, Q=R.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é D=Q, que é enumerável mas satisfaz D=R.

Exercícios relacionados