Determine, se existir, uma base e a dimensão dos subespaços U+W e U \cap W \quad R^{4}, sabendo-se que U=\left\{(x, y, z, t) \in R^{4} ; x-2 y=0\right. e \left.3 z-t=0\right\} e W=\left\{(x, y, z, t) \in R^{4} ; x+2 y-t=0\right. e \left.z=0\right\}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, se existir, uma base e a dimensão dos subespaços U+W e U\cap W de \mathbb{R}^4. As informações dadas são as descrições por equações lineares:
achar uma forma paramétrica (vetorial) de U e extrair uma base e dimensão de U;
achar uma forma paramétrica (vetorial) de W e extrair uma base e dimensão de W;
determinar U\cap W (achar todos os vetores que satisfazem simultaneamente as equações de U e W), e então dar sua base e dimensão;
determinar U+W (o subespaço gerado por todos somas u+w com u\in U, w\in W), e dar uma base e dimensão — para isso usarei a relação
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).
Passo 2
Vamos achar a forma paramétrica e uma base de U.
As equações de U são x-2y=0 e 3z-t=0.
Da primeira equação obtemos x=2y.
Da segunda obtemos t=3z.
As variáveis livres são y e z. Escrevemos um vetor genérico de U em termos de y e z:
(x,y,z,t)=(2y,y,z,3z)=y\,(2,1,0,0)+z\,(0,0,1,3).
Portanto U é o subespaço gerado pelos vetores (2,1,0,0) e (0,0,1,3). Vou chamar
u_1=(2,1,0,0),\qquad u_2=(0,0,1,3).
Verificação de independência linear (rápida): se a u_1 + b u_2 = 0 então olhando nas coordenadas 3 e 4 obtemos b=0 e então olhando nas coordenadas 1 e 2 obtemos a=0. Logo são linearmente independentes.
Conclusão: uma base de U é
\{(2,1,0,0),\;(0,0,1,3)\},
e
\dim U=2.
Passo 3
Agora achamos a forma paramétrica e uma base de W.
As equações de W são x+2y-t=0 e z=0.
Da segunda equação temos z=0.
Da primeira temos x = -2y + t.
As variáveis livres são y e t. Escrevemos um vetor genérico de W:
Verificação de independência: se a w_1 + b w_2=0, olhando na coordenada 3 obtemos 0=0 (sem informação), olhando na coordenada 4 obtemos a\cdot 0 + b\cdot 1=b=0; com b=0 na coordenada 2 obtemos a\cdot 1 =0 então a=0. Logo são independentes.
Conclusão: uma base de W é
\{(-2,1,0,0),\;(1,0,0,1)\},
e
\dim W=2.
Passo 4
Agora determinamos [U\cap W), isto é, os vetores que satisfazem simultaneamente as equações de U e de W.
Portanto o único vetor que pertence simultaneamente a U e W é o vetor nulo (0,0,0,0). Assim
U\cap W=\{(0,0,0,0)\}.
Logo
\dim(U\cap W)=0
e uma base do subespaço trivial \{0\} é o conjunto vazio (não há vetores não nulos para formar base).]
Passo 5
Agora determinamos U+W.
Usamos a fórmula de dimensões para soma e interseção de subespaços:
\dim(U+W)=\dim U + \dim W - \dim(U\cap W).
Substituindo os valores achados:
\dim(U+W)=2+2-0=4.
Como U+W é um subespaço de \mathbb{R}^4 com dimensão 4, temos U+W=\mathbb{R}^4. Portanto qualquer base de \mathbb{R}^4 serve como base de U+W; por simplicidade podemos escolher a base canônica
formam um conjunto gerador de U+W; como já sabemos que \dim(U+W)=4, qualquer subconjunto de quatro vetores linearmente independentes entre esses ou a base canônica confirmam que U+W=\mathbb{R}^4.
Resposta
Base de U+W: \{(1,0,0,0),\;(0,1,0,0),\;(0,0,1,0),\;(0,0,0,1)\} \dim(U+W)=4
Base de U\cap W: \varnothing (base vazia, pois U\cap W=\{(0,0,0,0)\}) \dim(U\cap W)=0