Determine as coordenadas do vetor v=(4,5) em relação às bases \beta=\{(-1,1),(2,1)\} e \beta^{\prime}=\{(-2,1),(1,3)\}. Faça a interpretação geométrica do vetor v, tendo como referência cada uma das bases.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \,v=(4,5)\, e duas bases do plano:
\,\beta=\{(-1,1),(2,1)\}\, e \,\beta'=\{(-2,1),(1,3)\}\,.
Pede-se:
  1. as coordenadas de \,v\, em relação à base \,\beta\,;
  2. as coordenadas de \,v\, em relação à base \,\beta'\,;
  3. a interpretação geométrica de \,v\, tomando cada base como referência.
Informações relevantes dadas: os dois vetores de cada base (listados acima) e o vetor \,v=(4,5)\,. Nada mais é necessário.

Passo 2

O que significa “coordenadas de v em relação a uma base”? Vou explicar de forma bem direta: se uma base é \{u_1,u_2\}, encontrar as coordenadas de v nessa base é achar escalares c_1,c_2 tais que
v = c_1 u_1 + c_2 u_2.
Aqui c_1 e c_2 são justamente as coordenadas de v nessa base. Geometricamente, isso significa que você alcança o ponto final de v somando c_1 vezes o vetor u_1 e depois c_2 vezes o vetor u_2 (a ordem não altera o somatório). Se algum coeficiente for negativo, significa que você anda na direção oposta desse vetor-base.
Método prático que vamos usar: escrever a igualdade vetorial em componentes e resolver o sistema linear 2×2 resultante. Esse método é o mais direto e básico para vetores em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Coordenadas de v relativamente à base \beta=\{(-1,1),(2,1)\}.
Escrevemos
(4,5) = x\cdot(-1,1) + y\cdot(2,1),
onde x e y são as coordenadas de v na base \beta.
Agora separamos as componentes (equações escalares). A componente x- (primeira) e a componente y- (segunda) dão o sistema:
\begin{cases} - x + 2y = 4,\\[4pt] x + y = 5. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema acima passo a passo (sem pular etapas).
Da segunda equação temos
x = 5 - y.
Substituímos este x na primeira equação:
- (5 - y) + 2y = 4.
Calculemos passo a passo:
-5 + y + 2y = 4,
3y - 5 = 4,
3y = 9,
y = 3.
Agora volte em x = 5 - y:
x = 5 - 3 = 2.
Portanto as coordenadas de v na base \beta são (x,y)=(2,3).
Verificação rápida (importante na prova): calcule a combinação
2\cdot(-1,1) + 3\cdot(2,1) = (-2,2) + (6,3) = (4,5),
que coincide com v. Tudo certo.

Passo 5

Coordenadas de v relativamente à base \beta'=\{(-2,1),(1,3)\}.
Escrevemos
(4,5) = a\cdot(-2,1) + b\cdot(1,3),
onde a e b são as coordenadas de v na base \beta'.
Separando componentes obtemos o sistema:
\begin{cases} -2a + b = 4,\\[4pt] a + 3b = 5. \end{cases}]

Passo 6

Resolver esse sistema passo a passo.
Da primeira equação isolamos b:
b = 4 + 2a.
Substituímos na segunda equação:
a + 3(4 + 2a) = 5.
Calculemos:
a + 12 + 6a = 5,
7a + 12 = 5,
7a = -7,
a = -1.
Agora b = 4 + 2a = 4 + 2(-1) = 2.
Portanto as coordenadas de v na base \beta' são (a,b)=(-1,2).
Verificação:
-1\cdot(-2,1) + 2\cdot(1,3) = (2,-1) + (2,6) = (4,5),
confirmação OK.

Passo 7

Interpretação geométrica — vamos traduzir o que os pares de coordenadas significam, calma que é tranquilo:
  • Em relação a \beta=\{(-1,1),(2,1)\} as coordenadas são (2,3). Isso significa que, para construir v, você pega duas vezes o vetor (-1,1) (ou seja, anda na direção (-1,1) por dois “passos” dessa magnitude) e soma três vezes o vetor (2,1). Como ambos os coeficientes são positivos, v fica no “quadrante” gerado pelos dois vetores na mesma direção desses vetores. Geometricamente você pode imaginar ir até (-2,2) (que é 2\cdot(-1,1)) e a partir daí avançar mais (6,3) (que é 3\cdot(2,1)), chegando em (4,5).
  • Em relação a \beta'=\{(-2,1),(1,3)\} as coordenadas são (-1,2). Aqui o primeiro coeficiente é negativo: a=-1 significa que usamos o vetor (-2,1) na direção oposta (ou seja, um passo na direção (2,-1)), e b=2 significa que somamos duas vezes (1,3). Geometricamente você pode imaginar ir até (2,-1) (isso vem de -1\cdot(-2,1)) e depois somar (2,6) (que é 2\cdot(1,3)), chegando em (4,5). A diferença de sinais mostra que, dependendo da base, as “partes” de v ao longo das direções escolhidas podem apontar para sentidos opostos.
Observação intuitiva final: as coordenadas mudam com a base — o vetor geométrico v é o mesmo no plano, mas sua descrição por coordenadas depende das direções (e orientações) escolhidas como base.

Resposta

Coordenadas de v na base \beta: (2,3).
Interpretação para \beta: v = 2\cdot(-1,1) + 3\cdot(2,1); ambos os coeficientes positivos, soma de dois múltiplos nessa direção.
Coordenadas de v na base \beta': (-1,2).
Interpretação para \beta': v = -1\cdot(-2,1) + 2\cdot(1,3); primeiro coeficiente negativo indica contribuição na direção oposta do primeiro vetor da base.

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