Determine as coordenadas do vetor
em relação às bases
e
. Faça a interpretação geométrica do vetor
, tendo como referência cada uma das bases.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e duas bases do plano:
e
.
Pede-se:
Pede-se:
- as coordenadas de
em relação à base ; - as coordenadas de
em relação à base ; - a interpretação geométrica de
tomando cada base como referência.
Informações relevantes dadas: os dois vetores de cada base (listados acima) e o vetor
. Nada mais é necessário.
Passo 2
O que significa “coordenadas de
em relação a uma base”? Vou explicar de forma bem direta: se uma base é
, encontrar as coordenadas de
nessa base é achar escalares
tais que
Aqui
e
são justamente as coordenadas de
nessa base. Geometricamente, isso significa que você alcança o ponto final de
somando
vezes o vetor
e depois
vezes o vetor
(a ordem não altera o somatório). Se algum coeficiente for negativo, significa que você anda na direção oposta desse vetor-base.
Método prático que vamos usar: escrever a igualdade vetorial em componentes e resolver o sistema linear 2×2 resultante. Esse método é o mais direto e básico para vetores em
.
Passo 3
Coordenadas de
relativamente à base
.
Escrevemos
onde
e
são as coordenadas de
na base
.
Agora separamos as componentes (equações escalares). A componente
- (primeira) e a componente
- (segunda) dão o sistema:
Passo 4
Resolver o sistema acima passo a passo (sem pular etapas).
Da segunda equação temos
Substituímos este
na primeira equação:
Calculemos passo a passo:
Agora volte em
:
Portanto as coordenadas de
na base
são
.
Verificação rápida (importante na prova): calcule a combinação
que coincide com
. Tudo certo.
Passo 5
Coordenadas de
relativamente à base
.
Escrevemos
onde
e
são as coordenadas de
na base
.
Separando componentes obtemos o sistema:
Passo 6
Resolver esse sistema passo a passo.
Da primeira equação isolamos
:
Substituímos na segunda equação:
Calculemos:
Agora
.
Portanto as coordenadas de
na base
são
.
Verificação:
confirmação OK.
Passo 7
Interpretação geométrica — vamos traduzir o que os pares de coordenadas significam, calma que é tranquilo:
-
Em relação a
as coordenadas são . Isso significa que, para construir , você pega duas vezes o vetor (ou seja, anda na direção por dois “passos” dessa magnitude) e soma três vezes o vetor . Como ambos os coeficientes são positivos, fica no “quadrante” gerado pelos dois vetores na mesma direção desses vetores. Geometricamente você pode imaginar ir até (que é ) e a partir daí avançar mais (que é ), chegando em . -
Em relação a
as coordenadas são . Aqui o primeiro coeficiente é negativo: significa que usamos o vetor na direção oposta (ou seja, um passo na direção ), e significa que somamos duas vezes . Geometricamente você pode imaginar ir até (isso vem de ) e depois somar (que é ), chegando em . A diferença de sinais mostra que, dependendo da base, as “partes” de ao longo das direções escolhidas podem apontar para sentidos opostos.
Observação intuitiva final: as coordenadas mudam com a base — o vetor geométrico
é o mesmo no plano, mas sua descrição por coordenadas depende das direções (e orientações) escolhidas como base.
Resposta
Coordenadas de
na base
:
.
Interpretação para :
; ambos os coeficientes positivos, soma de dois múltiplos nessa direção.
Coordenadas de na base
:
.
Interpretação para :
; primeiro coeficiente negativo indica contribuição na direção oposta do primeiro vetor da base.
Interpretação para
Coordenadas de
Interpretação para