Mostre que o conjunto W=\{(a, b, c), a, b, c \in R\} é gerado pelos vetores u=(1,2,0) e v=(0,1,0) e w=(1,0,3).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto W=\{(a,b,c),\\ a,b,c\in\mathbb{R}\} e os vetores u=(1,2,0), v=(0,1,0) e w=(1,0,3). A pergunta é: mostrar que W é gerado por u,v,w.
Informações relevantes listadas:
  • Um vetor genérico de W tem a forma (a,b,c) com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • Os vetores geradores dados são u=(1,2,0), v=(0,1,0) e w=(1,0,3).
  • O objetivo prático: provar que qualquer (a,b,c)\in W pode ser escrito como combinação linear de u,v,w.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa "ser gerado por u,v,w". Dizer que W é gerado por u,v,w quer dizer que todo vetor (a,b,c)\in W pode ser escrito como uma combinação linear
x\,u + y\,v + z\,w
para certos escalares x,y,z\in\mathbb{R}. Aqui x,y,z são os coeficientes da combinação linear — são as quantidades que multiplicam cada vetor gerador. Nossa tarefa é, dado um (a,b,c) arbitrário, encontrar x,y,z em função de a,b,c.

Passo 3

Escrevo a igualdade da combinação linear geral igual ao vetor arbitrário (a,b,c):
x(1,2,0) + y(0,1,0) + z(1,0,3) = (a,b,c).
Agora converto essa igualdade em equações coordenada a coordenada (somando as componentes correspondentes):
\begin{cases} x + 0\cdot y + z = a,\\[4pt] 2x + y + 0\cdot z = b,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 3z = c. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} x + z = a,\\[4pt] 2x + y = b,\\[4pt] 3z = c. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo o sistema passo a passo, começando pela equação mais simples. Da terceira equação:
3z = c \quad\Rightarrow\quad z = \dfrac{c}{3}.
Substituo esse z na primeira equação para encontrar x:
x + z = a \quad\Rightarrow\quad x = a - z = a - \dfrac{c}{3}.
Agora uso esse x na segunda equação para obter y:
2x + y = b \quad\Rightarrow\quad y = b - 2x.
Substituindo x = a - \dfrac{c}{3} obtemos
y = b - 2\!\left(a - \dfrac{c}{3}\right) = b - 2a + \dfrac{2c}{3}.

Passo 5

Portanto, para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R} encontramos coeficientes reais x,y,z dados por
z = \dfrac{c}{3},\qquad x = a - \dfrac{c}{3},\qquad y = b - 2a + \dfrac{2c}{3},
de modo que
(a,b,c) = x\,u + y\,v + z\,w.
Como isso vale para qualquer vetor arbitrário (a,b,c)\in W, concluímos que u,v,w geram W.

Resposta

(a,b,c) = \left(a-\dfrac{c}{3}\right)u + \left(b-2a+\dfrac{2c}{3}\right)v + \dfrac{c}{3}\,w, portanto W=\operatorname{span}\{u,v,w\}.

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