Determine, se existir, a derivada da função f nos pontos indicados a, b e c. Caso não exista, justifique. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-3, & x<0 \\\\ 2 x-3, & 0 \leq x \leq 2 \\\\ 3, & x>2\end{array} \quad a=0, \quad b=2, \quad c=1\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
A derivada f'(x_0) existe se, e somente se, as duas derivadas laterais existem e são iguais: f'_-(x_0)=f'_+(x_0).
Observação importante: se f'(x_0) existe então f é contínua em x_0. Logo, se f não for contínua em x_0 já sabemos que a derivada não existe.
Passo 3
Derivar cada ramo onde a função é dada por uma expressão simples (usando regras usuais de derivação):
Para x<0, f(x)=x^{2}-3. A derivada dessa expressão (regra do poder) é
\frac{d}{dx}(x^{2}-3)=2x.
Para 0\le x\le 2, f(x)=2x-3. A derivada de uma função afim 2x-3 é a constante
\frac{d}{dx}(2x-3)=2.
Para x>2, f(x)=3 (constante). A derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}(3)=0.
Essas expressões valem somente dentro de cada intervalo onde a função é dada por aquele ramo. Nos pontos de fronteira x=0 e x=2 precisamos checar as derivadas laterais e a continuidade.
Passo 4
Cálculo da derivada em c=1.
O ponto \,c=1 pertence ao intervalo [0,2] interiormente, onde f(x)=2x-3. Para pontos interiores de um ramo C^1 (ou simplesmente com expressão afim), a derivada é a derivada da expressão. Logo
f'(1)=2.
Verificação via definição: se preferir ver pela definição, a diferença entre f(x) e f(1) divide por x-1 tende a 2 quando x\to1 porque a função é linear naquele intervalo. Portanto a derivada existe e vale 2.
Logo f é contínua em 0 (os limites esquerdo e o valor coincidem).
Agora as derivadas laterais em 0.
Derivada pela esquerda (usando o ramo x^{2}-3): avaliando 2x em x\to0^-,
f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}2x=0.
Derivada pela direita (usando o ramo 2x-3): a derivada daquele ramo é a constante 2, logo
f'_+(0)=2.
Como f'_-(0)=0 e f'_+(0)=2 são diferentes, as derivadas laterais não coincidem. Portanto a derivada f'(0) não existe, mesmo sendo a função contínua ali.
Aqui aparece uma descontinuidade à direita: \lim_{x\to2^+}f(x)=3\neq 1=f(2). Logo f não é contínua em 2.
Como derivada implica continuidade, se a função não é contínua em 2 então f'(2) não existe. (Podemos também observar as derivadas laterais: pela esquerda f'_-(2)=2 e pela direita, no ramo constante, f'_+(2)=0. Elas são diferentes e a descontinuidade confirma a não existência da derivada.)
Passo 7
Resumo final dos resultados (sem justificativas adicionais, que já foram dadas acima).