Resolva a equação
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
sabendo que
.
Informações dadas:
- A função é
. - Devemos encontrar os valores de
tais que a derivada de em relação a é zero, isto é, resolver .
Passo 2
O que significa
e como calcular:
-
é a derivada de em relação a , também denotada por ou . - Regra principal que vamos usar: regra do poder (power rule). Ela diz que, para um monômio
,
onde
é constante e
é um número inteiro positivo. Cada termo da soma é derivado separadamente (linearidade da derivada).
- Exemplo rápido:
.
Passo 3
Aplicando a regra termo a termo à função
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: (pois tem potência , então coeficiente vezes ). - Para a constante
: .
Portanto
Passo 4
Agora resolvemos a equação
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(número diferente de zero):
Passo 5
Resolver a equação quadrática
por fatoração:
- Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja . Esses números são e . - Então fatoramos:
Igualando a zero:
Logo as soluções são
ou
.
Passo 6
Verificação rápida (substituir na derivada):
- Para
:
- Para
:
Ambos satisfazem a equação, confirmação ok.
Passo 7
(Informação extra útil na prova) Se quiser os pontos críticos completos na curva
, calcula-se
e
:
-
-
Portanto os pontos críticos sãoe . (Isso é opcional; a equação pedida pede essencialmente os valores de .)