Resolva a equação D_{x} y=0.
y=2 x^{3}-3 x^{2}-36 x+4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação D_{x}y = 0 sabendo que y = 2x^{3}-3x^{2}-36x+4.
Informações dadas:
  • A função é y(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+4.
  • Devemos encontrar os valores de x tais que a derivada de y em relação a x é zero, isto é, resolver D_{x}y=0.

Passo 2

O que significa D_{x}y e como calcular:
  • D_{x}y é a derivada de y em relação a x, também denotada por \dfrac{dy}{dx} ou y'.
  • Regra principal que vamos usar: regra do poder (power rule). Ela diz que, para um monômio a x^{n},
D_{x}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n\cdot x^{n-1},
onde a é constante e n é um número inteiro positivo. Cada termo da soma é derivado separadamente (linearidade da derivada).
  • Exemplo rápido: D_{x}(5x^{4})=5\cdot4 x^{3}=20x^{3}.

Passo 3

Aplicando a regra termo a termo à função y:
  • Para 2x^{3}: D_{x}(2x^{3})=2\cdot3\cdot x^{2}=6x^{2}.
  • Para -3x^{2}: D_{x}(-3x^{2})=-3\cdot2\cdot x^{1}=-6x.
  • Para -36x: D_{x}(-36x)=-36 (pois x tem potência 1, então coeficiente vezes 1).
  • Para a constante 4: D_{x}(4)=0.
Portanto
D_{x}y = 6x^{2}-6x-36.

Passo 4

Agora resolvemos a equação D_{x}y=0:
6x^{2}-6x-36=0.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 6 (número diferente de zero):
x^{2}-x-6=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática x^{2}-x-6=0 por fatoração:
  • Procuramos dois números cujo produto seja -6 e cuja soma seja -1. Esses números são -3 e 2.
  • Então fatoramos:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Igualando a zero:
(x-3)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x-3=0 \\ \text{ou}\\ x+2=0.
Logo as soluções são x=3 ou x=-2.

Passo 6

Verificação rápida (substituir na derivada):
  • Para x=3:
D_{x}y(3)=6\cdot3^{2}-6\cdot3-36=6\cdot9-18-36=54-18-36=0.
  • Para x=-2:
D_{x}y(-2)=6\cdot(-2)^{2}-6\cdot(-2)-36=6\cdot4+12-36=24+12-36=0.
Ambos satisfazem a equação, confirmação ok.

Passo 7

(Informação extra útil na prova) Se quiser os pontos críticos completos na curva y(x), calcula-se y(3) e y(-2):
  • y(3)=2\cdot27-3\cdot9-36\cdot3+4=54-27-108+4=-77.
  • y(-2)=2\cdot(-8)-3\cdot4-36\cdot(-2)+4=-16-12+72+4=48.
    Portanto os pontos críticos são (3,-77) e (-2,48). (Isso é opcional; a equação pedida pede essencialmente os valores de x.)

Resposta

x=3
x=-2

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