Calcule a derivada de:
f(x)=\frac{3 x^{2}-5 x+8}{7}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\dfrac{3x^{2}-5x+8}{7} e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes que temos:
  • A função é uma razão onde o numerador é o polinômio 3x^{2}-5x+8 e o denominador é a constante 7.
  • O objetivo é encontrar a expressão da derivada em função de x.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade/constante: a derivada de uma constante é zero. A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Em fórmulas:
\frac{d}{dx}\big(a+b\big)=\frac{d}{dx}a+\frac{d}{dx}b, \qquad \frac{d}{dx}\text{(c)}=0\\ \text{se }c\text{ é constante}.é
  • Regra do fator constante: uma constante multiplicando uma função pode sair da derivada:
\frac{d}{dx}\big(k\cdot g(x)\big)=k\cdot g'(x),
onde k é uma constante.
  • Regra da potência (caso mais usado aqui): para n inteiro,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Essas três regras bastam para derivar nosso polinômio dividido por uma constante.

Passo 3

Aplicando a regra do fator constante: a divisão por 7 é o mesmo que multiplicar por 1/7. Logo
f(x)=\frac{1}{7}\big(3x^{2}-5x+8\big)
e, pela regra do fator constante,
f'(x)=\frac{1}{7}\frac{d}{dx}\big(3x^{2}-5x+8\big).

Passo 4

Agora derivamos o polinômio termo a termo (pela linearidade):
  • Para 3x^{2}: usar a regra da potência com multiplicação por constante. A derivada de x^{2} é 2x, então
\frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=3\cdot 2x=6x.
  • Para -5x: a derivada de x é 1, então
\frac{d}{dx}\big(-5x\big)=-5\cdot 1=-5.
  • Para 8: sendo constante,
\frac{d}{dx}(8)=0.
Somando os resultados:
\frac{d}{dx}\big(3x^{2}-5x+8\big)=6x-5+0=6x-5.

Passo 5

Voltando para f'(x) com o fator 1/7:
f'(x)=\frac{1}{7}\big(6x-5\big).
Simplificando a escrita:
f'(x)=\frac{6x-5}{7}.

Resposta

\dfrac{6x-5}{7}

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