Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=x^{3} y^{-3}+e^{2 x-y^{3}}\left(2 x^{2}-3 y^{3}\right), no ponto P=(4,2, f(4,2)),
Escolha uma opção:
◯ a. Não existe o plano tangente
◯ b. z-72=30(x-4)-144(y-2)
◯ c. z-16=38(x-4)-56(y-2)
◯ d. z-16=30(x-4)-144(y-2)
◯ e. z-72=38(x-4)-56(y-2)
◯ f. z-72=38(x-4)-144(y-2)
◯ g. z-16=38(x-4)-144(y-2)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado pede: determinar, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P.
Foram apresentadas opções (a)–(g) e devemos escolher a alternativa correta.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e prática): o plano tangente ao gráfico de uma função z=f(x,y) num ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) (quando f for diferenciável nesse ponto) tem equação
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Vou usar essa fórmula; portanto preciso calcular f(4,2), f_x(4,2) e f_y(4,2).
Também é útil checar existência: f é combinação de potências e exponenciais e é diferenciável onde y\neq0 (por conta de y^{-3} e y^{-4} que aparecerão). Como y_0=2\neq0, f é diferenciável em (4,2) e o plano tangente existe.
Portanto o segundo termo vale 1\cdot 8=8. Somando,
f(4,2)=8+8=16.
Passo 4
Agora calcular f_x(x,y). Vou explicar cada regra usada: para x^{3}y^{-3} trato y como constante e aplico a regra da potência; para o segundo termo uso a regra do produto e a regra da cadeia (porque há e^{2x-y^{3}}).
Portanto o segundo termo vale 1\cdot 32=32. Somando:
f_x(4,2)=6+32=38.
Passo 6
Agora calcular f_y(x,y). Novamente explico: para x^{3}y^{-3} derivamos em relação a y tratando x como constante; para o segundo termo uso produto + cadeia.
Somando esses três termos: -384-36+288=-132. Portanto o segundo termo vale -132. Somando com o primeiro termo:
f_y(4,2)=-12+(-132)=-144.
Passo 8
Montagem do plano tangente: a fórmula é
z-f(4,2)=f_x(4,2)\,(x-4)+f_y(4,2)\,(y-2).
Já temos f(4,2)=16, f_x(4,2)=38 e f_y(4,2)=-144. Portanto os coeficientes do plano são 38 para (x-4) e -144 para (y-2). Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que coincide com esses coeficientes e com o valor z-16 é a alternativa (g).