Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=x^{3} y^{-3}+e^{2 x-y^{3}}\left(2 x^{2}-3 y^{3}\right), no ponto P=(4,2, f(4,2)),
Escolha uma opção:
◯ a. Não existe o plano tangente
◯ b. z-72=30(x-4)-144(y-2)
◯ c. z-16=38(x-4)-56(y-2)
◯ d. z-16=30(x-4)-144(y-2)
◯ e. z-72=38(x-4)-56(y-2)
◯ f. z-72=38(x-4)-144(y-2)
◯ g. z-16=38(x-4)-144(y-2)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Função dada: f(x,y)=x^{3}y^{-3}+e^{2x-y^{3}}\bigl(2x^{2}-3y^{3}\bigr).
  • Ponto pedido: P=(4,2,f(4,2)).
  • O enunciado pede: determinar, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P.
  • Foram apresentadas opções (a)–(g) e devemos escolher a alternativa correta.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): o plano tangente ao gráfico de uma função z=f(x,y) num ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) (quando f for diferenciável nesse ponto) tem equação
z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Vou usar essa fórmula; portanto preciso calcular f(4,2), f_x(4,2) e f_y(4,2).
Também é útil checar existência: f é combinação de potências e exponenciais e é diferenciável onde y\neq0 (por conta de y^{-3} e y^{-4} que aparecerão). Como y_0=2\neq0, f é diferenciável em (4,2) e o plano tangente existe.

Passo 3

Calcular o valor f(4,2).
Avalio cada termo em (4,2).
x^{3}y^{-3}\Big|_{(4,2)}=\frac{4^{3}}{2^{3}}=\frac{64}{8}=8.
Para o termo exponencial, o expoente é 2x-y^{3}. Em (4,2) temos 2x-y^{3}=8-8=0, logo e^{2x-y^{3}}=e^{0}=1. E
2x^{2}-3y^{3}\Big|_{(4,2)}=2\cdot 16-3\cdot 8=32-24=8.
Portanto o segundo termo vale 1\cdot 8=8. Somando,
f(4,2)=8+8=16.

Passo 4

Agora calcular f_x(x,y). Vou explicar cada regra usada: para x^{3}y^{-3} trato y como constante e aplico a regra da potência; para o segundo termo uso a regra do produto e a regra da cadeia (porque há e^{2x-y^{3}}).
Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{-3}\bigr)=3x^{2}y^{-3}.
Para g(x,y)=e^{2x-y^{3}}\bigl(2x^{2}-3y^{3}\bigr) aplico produto:
g_x=e^{2x-y^{3}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}-3y^{3})+\bigl(2x^{2}-3y^{3}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{2x-y^{3}}\bigr).
Aqui \frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}-3y^{3})=4x e \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{2x-y^{3}}\bigr)=e^{2x-y^{3}}\cdot 2 (regra da cadeia).
Logo
g_x=e^{2x-y^{3}}\bigl(4x\bigr)+\bigl(2x^{2}-3y^{3}\bigr)e^{2x-y^{3}}\cdot 2 =e^{2x-y^{3}}\bigl(4x+2(2x^{2}-3y^{3})\bigr).
Simplificando:
g_x=e^{2x-y^{3}}\bigl(4x^{2}+4x-6y^{3}\bigr).
Somando com a derivada do primeiro termo:
f_x(x,y)=3x^{2}y^{-3}+e^{2x-y^{3}}\bigl(4x^{2}+4x-6y^{3}\bigr).

Passo 5

Avaliar f_x em (4,2).
Primeiro termo:
3x^{2}y^{-3}\Big|_{(4,2)}=3\cdot 16\cdot 2^{-3}=48\cdot\frac{1}{8}=6.
Segundo termo: já vimos e^{2x-y^{3}}\big|_{(4,2)}=1. Calculo a expressão interna:
4x^{2}+4x-6y^{3}\Big|_{(4,2)}=4\cdot16+4\cdot4-6\cdot 8=64+16-48=32.
Portanto o segundo termo vale 1\cdot 32=32. Somando:
f_x(4,2)=6+32=38.

Passo 6

Agora calcular f_y(x,y). Novamente explico: para x^{3}y^{-3} derivamos em relação a y tratando x como constante; para o segundo termo uso produto + cadeia.
Derivando:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{-3}\bigr)=x^{3}\cdot(-3)y^{-4}=-3x^{3}y^{-4}.
Para g(x,y)=e^{2x-y^{3}}\bigl(2x^{2}-3y^{3}\bigr),
g_y=e^{2x-y^{3}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2x^{2}-3y^{3})+\bigl(2x^{2}-3y^{3}\bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{2x-y^{3}}\bigr).
Aqui \frac{\partial}{\partial y}(2x^{2}-3y^{3})=-9y^{2} e \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{2x-y^{3}}\bigr)=e^{2x-y^{3}}\cdot(-3y^{2}).
Logo
g_y=e^{2x-y^{3}}(-9y^{2})+\bigl(2x^{2}-3y^{3}\bigr)e^{2x-y^{3}}(-3y^{2}).
Fatorando e^{2x-y^{3}} e -3y^{2}:
g_y=e^{2x-y^{3}}\bigl(-9y^{2}-3y^{2}(2x^{2}-3y^{3})\bigr) =e^{2x-y^{3}}\bigl(-6x^{2}y^{2}-9y^{2}+9y^{5}\bigr).
Somando com a derivada do primeiro termo:
f_y(x,y)=-3x^{3}y^{-4}+e^{2x-y^{3}}\bigl(-6x^{2}y^{2}-9y^{2}+9y^{5}\bigr).

Passo 7

Avaliar f_y em (4,2).
Primeiro termo:
-3x^{3}y^{-4}\Big|_{(4,2)}=-3\cdot 64\cdot 2^{-4}=-192\cdot\frac{1}{16}=-12.
Segundo termo: novamente e^{2x-y^{3}}\big|_{(4,2)}=1. Calculo a expressão interna:
-6x^{2}y^{2}-9y^{2}+9y^{5}\Big|_{(4,2)}=-6\cdot 16\cdot 4-9\cdot 4+9\cdot 32.
Calcule passo a passo:
-6\cdot 16\cdot 4=-6\cdot 64=-384,
-9\cdot 4=-36,
9\cdot 32=288.
Somando esses três termos: -384-36+288=-132. Portanto o segundo termo vale -132. Somando com o primeiro termo:
f_y(4,2)=-12+(-132)=-144.

Passo 8

Montagem do plano tangente: a fórmula é
z-f(4,2)=f_x(4,2)\,(x-4)+f_y(4,2)\,(y-2).
Já temos f(4,2)=16, f_x(4,2)=38 e f_y(4,2)=-144. Portanto os coeficientes do plano são 38 para (x-4) e -144 para (y-2). Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que coincide com esses coeficientes e com o valor z-16 é a alternativa (g).

Resposta

(g) z-16=38(x-4)-144(y-2)

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