Classifique todos os pontos críticos da função
f(x, y)=\frac{140}{9} x^{3}+y^{3}-\frac{35}{3} x^{2} y-3 y
Escolha uma opção:
◯ a. P_{1}=(0,1) é ponto de máximo local, P_{2}=(0,-1) é ponto de mínimo local, P_{3}=(3,6) e P_{4}=(-3,-6) são pontos de sela de f.
◯ b. P_{1}=(0,1) é ponto de sela, P_{2}=(0,-1) é ponto de máximo, P_{3}=(3,6) ́ć ponto de mínimo e P_{4}=(-3,-6) é ponto de sela.
◯ c. P_{1}=(0,1) é ponto de máximo, P_{2}=(0,-1) é ponto de sela, P_{3}=(3,6) é ponto de sela e P_{4}=(-3,-6) é ponto de máximo local
◯ d. P_{1}=(0,1) é ponto de mínimo local, P_{2}=(0,-1) é ponto de máximo local, P_{3}=(3,6) e P_{4}=(-3,-6) são pontos de sela de f.
◯ e. P_{1}=(0,1) e P_{2}=(0,-1) são pontos de sela de f, P_{3}=(3,6) é ponto de máximo local e P_{4}=(-3,-6) é ponto de mínimo local
◯ f. P_{1}=(0,1) e P_{2}=(0,-1) são pontos de sela de f, P_{3}=(3,6) é ponto de mínimo local e P_{4}=(-3,-6) é ponto de máximo local

Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{140}{9}x^{3}+y^{3}-\frac{35}{3}x^{2}y-3y
e pede para classificar os pontos críticos indicados:
P_{1}=(0,1),\quad P_{2}=(0,-1),\quad P_{3}=(3,6),\quad P_{4}=(-3,-6).
O objetivo é determinar, para cada ponto, se é ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais primeiras de f. Lembrete rápido: a derivada parcial em relação a x trata y como constante; a derivada parcial em relação a y trata x como constante. Isso nos dá o gradiente \nabla f=(f_x,f_y), e pontos críticos satisfazem \nabla f=0.
Calcule f_x derivando termo a termo:
f_x=\frac{140}{9}\cdot 3x^{2}-\frac{35}{3}\cdot 2x y =\frac{140}{3}x^{2}-\frac{70}{3}x y =\frac{70}{3}\,x(2x-y).
Calcule f_y:
f_y=3y^{2}-\frac{35}{3}x^{2}-3.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema \,f_x=0,\\ f_y=0\, para encontrar os pontos críticos (a prática de montar casos é muito comum).
Da expressão fatorada de f_x temos duas possibilidades:
  • x=0, ou
  • 2x-y=0 (ou seja, y=2x).
Caso 1: x=0. Substituindo em f_y:
f_y(0,y)=3y^{2}-0-3=3(y^{2}-1)=0 \Rightarrow y=\pm 1.
Assim obtemos os pontos P_{1}=(0,1) e P_{2}=(0,-1).
Caso 2: y=2x. Substituindo em f_y:
f_y(x,2x)=3(2x)^{2}-\frac{35}{3}x^{2}-3 =12x^{2}-\frac{35}{3}x^{2}-3 =\frac{1}{3}x^{2}-3.
Igualando a zero:
\frac{1}{3}x^{2}-3=0 \Rightarrow x^{2}=9 \Rightarrow x=\pm 3.
Com y=2x chegamos a P_{3}=(3,6) e P_{4}=(-3,-6).
Portanto os quatro pontos dados são, de fato, todos os pontos críticos.

Passo 4

Para classificar cada ponto usamos o teste das segundas derivadas em duas variáveis. Precisamos das derivadas segundas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\!f_x=\frac{280}{3}x-\frac{70}{3}y, \qquad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\!f_y=6y, \qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\!f_x=-\frac{70}{3}x.
Definimos o discriminante de Hessian
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^{2}.
Regra de interpretação:
  • Se D<0 em um ponto crítico, é ponto de sela.
  • Se D>0 e f_{xx}>0, é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, é máximo local.
  • Se D=0, teste inconclusivo (não ocorre aqui).

Passo 5

Avaliação em P_{1}=(0,1):
f_{xx}(0,1)=-\frac{70}{3},\qquad f_{yy}(0,1)=6,\qquad f_{xy}(0,1)=0.
Logo
D(0,1)=\left(-\frac{70}{3}\right)\cdot 6 - 0^{2} = -\frac{420}{3} = -140 < 0.
Conclusão: P_{1}=(0,1) é ponto de sela.

Passo 6

Avaliação em P_{2}=(0,-1):
f_{xx}(0,-1)=+\frac{70}{3},\qquad f_{yy}(0,-1)=-6,\qquad f_{xy}(0,-1)=0.
Logo
D(0,-1)=\frac{70}{3}\cdot(-6)-0^{2}=-140<0.
Conclusão: P_{2}=(0,-1) é ponto de sela.

Passo 7

Avaliação em P_{3}=(3,6):
f_{xx}(3,6)=\frac{280}{3}\cdot 3-\frac{70}{3}\cdot 6=\frac{840-420}{3}=\frac{420}{3}=140,
f_{yy}(3,6)=6\cdot 6=36,\qquad f_{xy}(3,6)=-\frac{70}{3}\cdot 3=-70.
Portanto
D(3,6)=140\cdot 36-(-70)^{2}=5040-4900=140>0.
Como D>0 e f_{xx}(3,6)=140>0, concluímos que P_{3}=(3,6) é ponto de mínimo local.

Passo 8

Avaliação em P_{4}=(-3,-6):
f_{xx}(-3,-6)=\frac{280}{3}\cdot(-3)-\frac{70}{3}\cdot(-6)=\frac{-840+420}{3}=-\frac{420}{3}=-140,
f_{yy}(-3,-6)=6\cdot(-6)=-36,\qquad f_{xy}(-3,-6)=-\frac{70}{3}\cdot(-3)=70.
Então
D(-3,-6)=(-140)\cdot(-36)-70^{2}=5040-4900=140>0.
Como D>0 e f_{xx}(-3,-6)=-140<0, concluímos que P_{4}=(-3,-6) é ponto de máximo local.

Passo 9

Resumo das classificações obtidas:
P_{1}=(0,1)\\ \text{ponto de sela}, \quad P_{2}=(0,-1)\\ \text{ponto de sela},
P_{3}=(3,6)\\ \text{mínimo local}, \quad P_{4}=(-3,-6)\\ \text{máximo local}.íá

Resposta

(f)

Exercícios relacionados