Classifique todos os pontos críticos da função
Escolha uma opção:
◯ a.
é ponto de máximo local,
é ponto de mínimo local,
e
são pontos de sela de f.
◯ b.
é ponto de sela,
é ponto de máximo,
́ć ponto de mínimo e
é ponto de sela.
◯ c.
é ponto de máximo,
é ponto de sela,
é ponto de sela e
é ponto de máximo local
◯ d.
é ponto de mínimo local,
é ponto de máximo local,
e
são pontos de sela de
.
◯ e.
e
são pontos de sela de
é ponto de máximo local e
é ponto de mínimo local
◯ f.
e
são pontos de sela de
é ponto de mínimo local e
é ponto de máximo local
Limpar minha escolha
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ f.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para classificar os pontos críticos indicados:
O objetivo é determinar, para cada ponto, se é ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais primeiras de
. Lembrete rápido: a derivada parcial em relação a
trata
como constante; a derivada parcial em relação a
trata
como constante. Isso nos dá o gradiente
, e pontos críticos satisfazem
.
Calcule
derivando termo a termo:
Calcule
:
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
para encontrar os pontos críticos (a prática de montar casos é muito comum).
Da expressão fatorada de
temos duas possibilidades:
-
, ou -
(ou seja, ).
Caso 1:
. Substituindo em
:
Assim obtemos os pontos
e
.
Caso 2:
. Substituindo em
:
Igualando a zero:
Com
chegamos a
e
.
Portanto os quatro pontos dados são, de fato, todos os pontos críticos.
Passo 4
Para classificar cada ponto usamos o teste das segundas derivadas em duas variáveis. Precisamos das derivadas segundas:
Definimos o discriminante de Hessian
Regra de interpretação:
- Se
em um ponto crítico, é ponto de sela. - Se
e , é mínimo local. - Se
e , é máximo local. - Se
, teste inconclusivo (não ocorre aqui).
Passo 5
Avaliação em
:
Logo
Conclusão:
é ponto de sela.
Passo 6
Avaliação em
:
Logo
Conclusão:
é ponto de sela.
Passo 7
Avaliação em
:
Portanto
Como
e
, concluímos que
é ponto de mínimo local.
Passo 8
Avaliação em
:
Então
Como
e
, concluímos que
é ponto de máximo local.
Passo 9
Resumo das classificações obtidas:
Resposta
(f)