Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique.
(e) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-2 \operatorname{sen} n}{n^{3}}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede. A série dada é
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-2\sin n}{n^{3}}.
O enunciado pede para determinar se a série é:
absolutamente convergente,
condicionalmente convergente, ou
divergente,
e justificar a resposta.
Passo 2
Vou lembrar os conceitos que vou usar (explicando de forma simples).
Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos não-negativos \sum |a_n| converge.
Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, diz-se que ela é condicionalmente convergente.
Se \sum a_n diverge, é simplesmente divergente.
Um resultado útil: se \sum |a_n| converge (isto é, se a série é absolutamente convergente), então \sum a_n converge. Assim, mostrar que \sum |a_n| converge basta para concluir convergência.
Teste que usarei: comparação com uma série p (p-series). A série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso, p=3>1, então \sum 1/n^{3} converge.
Passo 3
Vou analisar o módulo do termo geral. Para todo n vale \lvert\sin n\rvert\le 1. Portanto
Como \sum_{n=1}^{+\infty} \left\lvert \dfrac{1-2\sin n}{n^{3}}\right\rvert converge, a série original é absolutamente convergente. Pelo fato de absoluta convergência implicar convergência, a série também é convergente (não apenas condicionalmente).