Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique.
(e) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-2 \operatorname{sen} n}{n^{3}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede. A série dada é
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1-2\sin n}{n^{3}}.
O enunciado pede para determinar se a série é:
  • absolutamente convergente,
  • condicionalmente convergente, ou
  • divergente,
    e justificar a resposta.

Passo 2

Vou lembrar os conceitos que vou usar (explicando de forma simples).
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos não-negativos \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, diz-se que ela é condicionalmente convergente.
  • Se \sum a_n diverge, é simplesmente divergente.
  • Um resultado útil: se \sum |a_n| converge (isto é, se a série é absolutamente convergente), então \sum a_n converge. Assim, mostrar que \sum |a_n| converge basta para concluir convergência.
  • Teste que usarei: comparação com uma série p (p-series). A série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso, p=3>1, então \sum 1/n^{3} converge.

Passo 3

Vou analisar o módulo do termo geral. Para todo n vale \lvert\sin n\rvert\le 1. Portanto
\lvert 1-2\sin n\rvert \le \lvert 1\rvert + 2\lvert\sin n\rvert \le 1 + 2\cdot 1 = 3.
Assim, para todo n,
\left\lvert \frac{1-2\sin n}{n^{3}}\right\rvert = \frac{\lvert 1-2\sin n\rvert}{n^{3}} \le \frac{3}{n^{3}}.

Passo 4

Agora aplico o teste da comparação direta com a p-série convergente. Como já sabemos que
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{3}}
converge (porque 3>1), e como para todo n temos
0 \le \frac{\lvert 1-2\sin n\rvert}{n^{3}} \le \frac{3}{n^{3}},
pelo teste da comparação concluímos que a série dos módulos converge:
\sum_{n=1}^{+\infty} \left\lvert \frac{1-2\sin n}{n^{3}}\right\rvert < +\infty.

Passo 5

Como \sum_{n=1}^{+\infty} \left\lvert \dfrac{1-2\sin n}{n^{3}}\right\rvert converge, a série original é absolutamente convergente. Pelo fato de absoluta convergência implicar convergência, a série também é convergente (não apenas condicionalmente).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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