Seja
uma função definida implicitamente por
, onde
é uma constante real. Se
, o valor de
é igual a:
Escolha uma opçãd
◯ a. 2
◯ b. -1
◯ c. 1
◯ d. 0
◯ e. -2
◯ a. 2
◯ b. -1
◯ c. 1
◯ d. 0
◯ e. -2
Passo 1
O enunciado dá a função
definida implicitamente pela equação
onde
é uma constante real. Também é dado que
, ou seja, quando
e
temos
.
O que o problema pede é o valor de
O que o problema pede é o valor de
Passo 2
Vamos diferenciar implicitamente a equação em relação a
, tratando
como constante (porque
significa derivada parcial com
fixo). Antes de derivar, lembretes rápidos (aula mini):
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia: se
, então . - Notação: vou escrever
para .
Agora derivamos cada termo da equação
em relação a
.
Passo 3
Derivando termo a termo (lembrando que
depende de
):
-
(pela regra do produto). -
(pois é constante). -
(regra da cadeia). -
.
Reunindo:
Agora isolamos
. Colocando os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Logo,
Passo 4
Vamos avaliar essa fórmula no ponto
. Sabemos que
, logo
. Substituindo
,
,
:
Passo 5
Finalmente calculamos
. Usando
:
Resposta
c. 1