Seja z=f(x, y) uma função definida implicitamente por y z+x e^{y}=z^{2}+c y, onde c é uma constante real. Se f(0,1)=1, o valor de c+\frac{\partial f}{\partial y}(0,1) é igual a:
Escolha uma opçãd
◯ a. 2
◯ b. -1
◯ c. 1
◯ d. 0
◯ e. -2

Passo 1

O enunciado dá a função z=f(x,y) definida implicitamente pela equação
y z + x e^{y} = z^{2} + c y,
onde c é uma constante real. Também é dado que f(0,1)=1, ou seja, quando x=0 e y=1 temos z=1.
O que o problema pede é o valor de
c + \frac{\partial f}{\partial y}(0,1).

Passo 2

Vamos diferenciar implicitamente a equação em relação a y, tratando x como constante (porque \frac{\partial}{\partial y} significa derivada parcial com x fixo). Antes de derivar, lembretes rápidos (aula mini):
  • Regra do produto: \displaystyle \frac{d}{dy}(u(y)\,v(y)) = u'(y)\,v(y) + u(y)\,v'(y).
  • Regra da cadeia: se z=z(x,y), então \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} z^{2} = 2z\cdot \frac{\partial z}{\partial y}.
  • Notação: vou escrever \displaystyle z_y para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Agora derivamos cada termo da equação \,y z + x e^{y} = z^{2} + c y\, em relação a y.

Passo 3

Derivando termo a termo (lembrando que z=z(x,y) depende de y):
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(y z) = 1\cdot z + y\cdot z_y = z + y z_y (pela regra do produto).
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x e^{y}) = x e^{y} (pois x é constante).
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(z^{2}) = 2 z z_y (regra da cadeia).
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(c y) = c.
Reunindo:
z + y z_y + x e^{y} = 2 z z_y + c.
Agora isolamos z_y. Colocando os termos com z_y de um lado:
y z_y - 2 z z_y = c - z - x e^{y}.
Fatorando z_y:
z_y (y - 2 z) = c - z - x e^{y}.
Logo,
z_y = \frac{c - z - x e^{y}}{y - 2 z}.

Passo 4

Vamos avaliar essa fórmula no ponto (x,y)=(0,1). Sabemos que f(0,1)=1, logo z(0,1)=1. Substituindo x=0, y=1, z=1:
z_y(0,1) = \frac{c - 1 - 0\cdot e^{1}}{1 - 2\cdot 1} = \frac{c - 1}{1 - 2} = \frac{c - 1}{-1} = 1 - c.

Passo 5

Finalmente calculamos c + \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,1). Usando z_y(0,1)=1-c:
c + z_y(0,1) = c + (1 - c) = 1.

Resposta

c. 1

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