Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função
f(x, y)=3 raiz16 x^2+25 y^4+2(ln (2 x+5 y))
no ponto P=(4,0, f(4,0)),
Escolha uma opção:
a. z-(48+2 ln (8))=252(x-4)+54 y
b. z+(48+2 ln (8))=252(x-4)+54 y
c. z-(48+2 ln (8))=252(x+4)+54 y
d. Não existe o plano tangente
e. z+(48+2 ln (8))=252(x-4)+14 y
f. z-(48+2 ln (8))=252(x+4)+14 y
g. z-(48+2 ln (8))=252(x-4)+14 y

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x,y)=3raiz16x^2+25y^4+2ln(2x+5y) no ponto P=(4,0,f(4,0)). O conteúdo principal é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente:
z - f(a,b) = fx(a,b)(x - a) + fy(a,b)(y - b)
Vamos precisar calcular f(4,0), fx(4,0) e fy(4,0).

Passo 2

Primeiro calculamos o valor de f no ponto (4,0):
f(4,0) = 3raiz16cdot4^2 + 25cdot0^4 + 2ln(2cdot4 + 5cdot0) = 3raiz256 + 2ln(8) = 48 + 2ln(8)

Passo 3

Agora derivamos parcialmente em relação a x:
fx(x,y) = 312raiz16x^2+25y^4cdot(32x) + 222x+5y = 48xraiz16x^2+25y^4 + 42x+5y
Em seguida avaliamos em (4,0):
fx(4,0) = 48cdot416 + 48 = 12 + tfrac12 = 252

Passo 4

Agora derivamos parcialmente em relação a y:
fy(x,y) = 312raiz16x^2+25y^4cdot(100y^3) + 252x+5y = 150y^3raiz16x^2+25y^4 + 102x+5y
Em (4,0) o primeiro termo some e temos
fy(4,0) = 108 = 54

Passo 5

Com f(4,0)=48+2ln(8), fx(4,0)=tfrac252 e fy(4,0)=tfrac54, aplicamos a fórmula do plano tangente:
z - (48+2ln(8)) = 252(x-4) + 54(y-0)
Isso coincide com a opção a.

Resposta

z-(48+2 \ln(8))=\frac{25}{2}(x-4)+\frac{5}{4}y

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