Para cada equação, identifique:
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(ii) x d^3 yd x^3-(d yd x)^4+y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma equação diferencial e identificar algumas características dela, como a ordem, quais são as variáveis dependentes e independentes, se a equação é linear ou não, e outras coisinhas. Depois, precisamos colocar a equação numa forma mais simples, chamada de forma normal. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais, como ordem, linearidade, coeficientes, e formas de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
x d^3 yd x^3 - ( d yd x )^4 + y = 0
Ordem da Equação:
A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente nela. Aqui, a derivada de terceira ordem, d^3 yd x^3, é a de maior ordem. Então, essa é uma equação diferencial de terceira ordem.
Variáveis Dependente e Independente:
  • Variável dependente: $ y $ (pois está sendo derivada).
  • Variável independente: $ x $ (pois é em relação a ela que as derivadas são tomadas).
Constantes e Possíveis Ambiguidades:
Não há constantes numéricas explícitas na equação. A equação está escrita de forma explícita, então não há ambiguidades aparentes nas variáveis ou constantes.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
an(x) d^n yd x^n + an-1(x) d^n-1 yd x^n-1 + dots + a1(x) d yd x + a0(x) y = g(x)
onde $ a_i(x) $ são funções de $ x $ e $ g(x) $ é uma função dada.
Na nossa equação:
ai(x)
Observamos que o termo x está elevado a uma potência não linear (4ª potência). Isso quebra a linearidade, pois, para ser linear, os termos envolvendo $ y $ e suas derivadas devem estar na primeira potência e não podem ser multiplicados entre si.
Conclusão: A equação não é linear.

Passo 4

Como a equação não é linear, precisamos verificar se ela é autônoma. Uma equação diferencial é autônoma se ela não depende explicitamente da variável independente, que neste caso é $ x $.
Nossa equação é:
x
Perceba que há um $ x $ multiplicando a derivada de terceira ordem. Isso significa que a equação depende explicitamente de $ x $, ou seja, não é autônoma.
Conclusão: A equação não é autônoma.

Passo 5

Agora, vamos converter a equação para a forma normal. A forma normal de uma equação diferencial de ordem $ n $ é aquela em que a derivada de maior ordem está isolada. Ou seja, queremos escrever a equação de tal forma que a derivada de terceira ordem esteja sozinha de um lado da igualdade.
Nossa equação original:
n
Vamos isolar x d^3 yd x^3 - ( d yd x )^4 + y = 0 :
d^3 yd x^3
Agora, dividimos ambos os lados por $ x $ (assumindo que $ x \neq 0 $):
x d^3 yd x^3 = ( d yd x )^4 - y
Restrição: $ x \neq 0 $, já que estamos dividindo por $ x $.

Resposta

A equação diferencial dada é de terceira ordem, com $ y $ como variável dependente e $ x $ como independente. Não é linear nem autônoma. Sua forma normal, válida para $ x \neq 0 $, é:
y

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