Para cada equação, identifique:
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(ii)
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(ii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma equação diferencial e identificar algumas características dela, como a ordem, quais são as variáveis dependentes e independentes, se a equação é linear ou não, e outras coisinhas. Depois, precisamos colocar a equação numa forma mais simples, chamada de forma normal. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais, como ordem, linearidade, coeficientes, e formas de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
Ordem da Equação:
A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente nela. Aqui, a derivada de terceira ordem, , é a de maior ordem. Então, essa é uma equação diferencial de terceira ordem.
A ordem de uma equação diferencial é definida pela maior derivada presente nela. Aqui, a derivada de terceira ordem,
Variáveis Dependente e Independente:
- Variável dependente: $ y $ (pois está sendo derivada).
- Variável independente: $ x $ (pois é em relação a ela que as derivadas são tomadas).
Constantes e Possíveis Ambiguidades:
Não há constantes numéricas explícitas na equação. A equação está escrita de forma explícita, então não há ambiguidades aparentes nas variáveis ou constantes.
Não há constantes numéricas explícitas na equação. A equação está escrita de forma explícita, então não há ambiguidades aparentes nas variáveis ou constantes.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
onde $ a_i(x) $ são funções de $ x $ e $ g(x) $ é uma função dada.
Na nossa equação:
Observamos que o termo
está elevado a uma potência não linear (4ª potência). Isso quebra a linearidade, pois, para ser linear, os termos envolvendo $ y $ e suas derivadas devem estar na primeira potência e não podem ser multiplicados entre si.
Conclusão: A equação não é linear.
Passo 4
Como a equação não é linear, precisamos verificar se ela é autônoma. Uma equação diferencial é autônoma se ela não depende explicitamente da variável independente, que neste caso é $ x $.
Nossa equação é:
Perceba que há um $ x $ multiplicando a derivada de terceira ordem. Isso significa que a equação depende explicitamente de $ x $, ou seja, não é autônoma.
Conclusão: A equação não é autônoma.
Passo 5
Agora, vamos converter a equação para a forma normal. A forma normal de uma equação diferencial de ordem $ n $ é aquela em que a derivada de maior ordem está isolada. Ou seja, queremos escrever a equação de tal forma que a derivada de terceira ordem esteja sozinha de um lado da igualdade.
Nossa equação original:
Vamos isolar
:
Agora, dividimos ambos os lados por $ x $ (assumindo que $ x \neq 0 $):
Restrição: $ x \neq 0 $, já que estamos dividindo por $ x $.
Resposta
A equação diferencial dada é de terceira ordem, com $ y $ como variável dependente e $ x $ como independente. Não é linear nem autônoma. Sua forma normal, válida para $ x \neq 0 $, é: