Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
y^prime prime-3 y+2 y=sen 2 x

Passo 1

No enunciado temos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo fonte: y'' - 3y' + 2y = sin 2x. O conteúdo aqui é o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

Para aplicar o método dos coeficientes indeterminados, primeiro observamos que o termo não homogêneo é sin 2x. A gente assume uma solução particular do tipo
yp(x) = Acos 2x + Bsin 2x
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de yp:
yp'(x) = -2Asin 2x + 2Bcos 2x,
yp''(x) = -4Acos 2x - 4Bsin 2x

Passo 4

Substituímos yp, yp' e yp'' na equação original:
(-4Acos 2x -4Bsin 2x) -3(-2Asin 2x +2Bcos 2x) +2(Acos 2x +Bsin 2x) = sin 2x
Agrupando coeficientes de cos 2x e sin 2x obtemos o sistema
-2A -6B = 0,
6A -2B = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema para A e B: da primeira equação A = -3B. Substituindo na segunda:
6(-3B) -2B = 1 implies -20B =1 implies B = -120,
logo A = -3(-tfrac120) = tfrac320. Assim achamos a solução particular.

Resposta

A solução particular é yp(x) = tfrac320cos 2x - tfrac120sin 2x.

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