Determine, se existir:
(a) a equação da reta tangente à curva (x-1) y+e^{y}=e, no ponto de abcissa x=1
Para obter a inclinação, determinamos y^{\prime} derivando implicitamente
Para x=1, temos 0+e^{y}=e \Rightarrow y=1, donde y^{\prime}(1)=-1 / e e a equação pretendida é
(a) a equação da reta tangente à curva (x-1) y+e^{y}=e, no ponto de abcissa x=1
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva definida implicitamente por
no ponto de abcissa
. O conteúdo principal é diferenciação implícita para obter
e depois usar a fórmula da reta tangente.
Passo 2
Derivamos implicitamente em relação a
a equação
Aplicando a regra do produto em
e a cadeia em
, obtemos
Passo 3
Isolando
em
temos
Passo 4
Para encontrar o ponto de tangência, colocamos
na curva original:
Logo o ponto é
.
Passo 5
A inclinação no ponto
é
A reta tangente em
vem de
com
,
e
.