Determine, se existir:
(a) a equação da reta tangente à curva (x-1) y+e^{y}=e, no ponto de abcissa x=1
Para obter a inclinação, determinamos y^{\prime} derivando implicitamente
y+(x-1) y^prime+e^y y^prime & =0 y+(x-1+e^y) y^prime & =0 y^prime & =-yx-1+e^y
Para x=1, temos 0+e^{y}=e \Rightarrow y=1, donde y^{\prime}(1)=-1 / e e a equação pretendida é
y-1=-1e(x-1)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva definida implicitamente por (x-1)y + e^y = e no ponto de abcissa x=1. O conteúdo principal é diferenciação implícita para obter y' e depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Derivamos implicitamente em relação a x a equação
(x-1)y + e^y = e
Aplicando a regra do produto em (x-1)y e a cadeia em e^y, obtemos
(x-1),y' + y + e^y,y' = 0

Passo 3

Isolando y' em
(x-1),y' + e^y,y' + y = 0
temos
l(x-1 + e^yr),y' = -,y Longrightarrow y' = -y,x-1 + e^y,

Passo 4

Para encontrar o ponto de tangência, colocamos x=1 na curva original:
(1-1),y + e^y = e ;Longrightarrow; e^y = e ;Longrightarrow; y = 1
Logo o ponto é (1,1).

Passo 5

A inclinação no ponto (1,1) é
y'(1) = -1,1-1 + e^1, = -1e
A reta tangente em (1,1) vem de
y - y0 = m,(x - x0)
com y0=1, x0=1 e m=-tfrac1e.

Resposta

y - 1 = -1e,(x - 1)

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