Questão 6. Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Demonstre a(s) afirmação(ções) verdadeira(s) e exiba um contraexemplo para a(s) falsa(s).
(0,3) Se f: R R é uma função derivável em x0 in R, então f é contínua em x0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função fcolon RtoR que é derivável em um ponto x0, e pede para mostrar que isso implica que f é contínua em x0. O conteúdo é de análise real: vamos usar as definições de derivada e de continuidade para montar a prova.

Passo 2

Lembre-se das definições:
A função f é derivável em x0 se existe o limite
limxto x0 f(x)-f(x0)x - x0 = f'(x0)
E f é contínua em x0 se
limxto x0 f(x) = f(x0)

Passo 3

Para xneq x0 podemos escrever
f(x) - f(x0) = f(x)-f(x0)x - x0;l(x - x0r)
Como f é derivável em x0, temos
limxto x0 f(x)-f(x0)x - x0 = f'(x0) e limxto x0 (x - x0) = 0
Portanto, ao tomar limite em ambos os lados,
limxto x0l(f(x)-f(x0)r) = f'(x0)cdot 0 = 0,
ou seja,
limxto x0 f(x) = f(x0),
que é exatamente a continuidade em x0.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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