Questão 6. Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Demonstre a(s) afirmação(ções) verdadeira(s) e exiba um contraexemplo para a(s) falsa(s).
Se
é uma função derivável em
, então
é contínua em
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
que é derivável em um ponto
, e pede para mostrar que isso implica que
é contínua em
. O conteúdo é de análise real: vamos usar as definições de derivada e de continuidade para montar a prova.
Passo 2
Lembre-se das definições:
A função é derivável em
se existe o limite
A função
E
é contínua em
se
Passo 3
Para
podemos escrever
Como
é derivável em
, temos
Portanto, ao tomar limite em ambos os lados,
ou seja,
que é exatamente a continuidade em
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.