Exercício 17. Sejam G L(n)=T in L(R^n ; R^n) ; T é invertível e f: G L(n) longrightarrow L(R^n ; R^n) definida por f(T)=T^-1. Encontre uma expressão para f^prime prime(T)(H, K).
Dicas: Note que
f^prime: A longmapsto A^-1 longmapsto(A^-1, A^-1) longmapsto f^prime(A),
onde, no último passso, foi aplicada a aplicação bilinear
B: L(R^n ; R^n) times L(R^n ; R^n) & longrightarrow L(L(R^n ; R^n) ; L(R^n ; R^n)) (S, T) & longmapsto B(S, T)(H):=-S H T
Alternativamente, outra forma de resolver este problema, mas talvez de modo um pouco menos elementar, seria expressar T^-1 como série de potências em G L(n).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a segunda derivada de
fcolon GL(n)to L(R^n;R^n), f(T)=T^-1
O conteúdo é a diferencial da inversão em GL(n). Vamos usar que a primeira derivada já é dada por
f'(T)[H] = -,T^-1 H,T^-1,
e a partir daí aplicar a regra do produto e a fórmula da derivada de T^-1.

Passo 2

Recordando como se obtém f'(T)[H]: diferenciando T^-1T=I na direção H
d(T^-1)[H];T ;+; T^-1,H ;=;0 Longrightarrow d(T^-1)[H] = -,T^-1 H,T^-1
Logo
f'(T)[H] = -,T^-1 H,T^-1

Passo 3

Para achar f''(T)(H,K) precisamos derivar f'(T)[H] em direção a K. Ou seja,
f''(T)(H,K) =;dl(f'(T)[H]r)[K] =;-;dl(T^-1 H,T^-1r)[K]
Aplicando a regra do produto em duas parcelas e lembrando que
d(T^-1)[K] = -,T^-1 K,T^-1,
vem
dl(T^-1 H,T^-1r)[K] = l(d(T^-1)[K]r),H,T^-1 ;+;T^-1,H,l(d(T^-1)[K]r)

Passo 4

Substituindo d(T^-1)[K]=-T^-1K,T^-1 em cada parcela:
dl(T^-1 H,T^-1r)[K] = -,T^-1K,T^-1H,T^-1 ;-;T^-1H,T^-1K,T^-1
Como f''(T)(H,K)=- deste resultado, obtemos
f''(T)(H,K) = T^-1K,T^-1H,T^-1 ;+;T^-1H,T^-1K,T^-1

Resposta

f''(T)(H,K) = T^-1K,T^-1H,T^-1 ;+; T^-1H,T^-1K,T^-1

Exercícios relacionados