Exercício 17. Sejam
é invertível
e
definida por
. Encontre uma expressão para
.
Dicas: Note que
onde, no último passso, foi aplicada a aplicação bilinear
Alternativamente, outra forma de resolver este problema, mas talvez de modo um pouco menos elementar, seria expressar
como série de potências em
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a segunda derivada de
O conteúdo é a diferencial da inversão em
. Vamos usar que a primeira derivada já é dada por
e a partir daí aplicar a regra do produto e a fórmula da derivada de
.
Passo 2
Recordando como se obtém
: diferenciando
na direção
dá
Logo
Passo 3
Para achar
precisamos derivar
em direção a
. Ou seja,
Aplicando a regra do produto em duas parcelas e lembrando que
vem
Passo 4
Substituindo
em cada parcela:
Como
deste resultado, obtemos