1. Um objeto anda em linha reta e sua posição no instante t vem dada pela função s(t)=2-t2+t. Calcule a velocidade desse objeto em um instante t arbitrário, usando para isto a definição de derivada.

Passo 1

O enunciado fornece a função de posição
s(t)=2-t2+t
para um objeto em movimento retilíneo. O objetivo é calcular a velocidade v(t), que é a derivada s'(t), usando a definição de derivada como limite do quociente de incrementos.

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
s'(t)=limhto0s(t+h)-s(t)h

Passo 3

Primeiro calculamos s(t+h):
s(t+h)=2-(t+h)2+(t+h)=2-t-h2+t+h
Logo, o numerador do quociente de diferença é
s(t+h)-s(t) =2-t-h2+t+h-2-t2+t
Para juntar as frações, usamos o mesmo denominador (2+t+h)(2+t):

Passo 4

2-t-h2+t+h-2-t2+t =(2-t-h)(2+t)-(2-t)(2+t+h)(2+t+h)(2+t)
Expandindo e simplificando o numerador, obtemos
(2-t-h)(2+t)-(2-t)(2+t+h) =(4-t^2- h(2+t))-(4-t^2 +h(2-t)) =-4h
Assim,
s(t+h)-s(t) =-4h(2+t+h)(2+t) Longrightarrow s(t+h)-s(t)h =-4(2+t+h)(2+t)

Passo 5

Fazendo hto0, o fator (2+t+h) tende a (2+t). Logo
s'(t) =limhto0l(-4(2+t+h)(2+t)r) =-4(2+t)^2

Resposta

A velocidade do objeto em um instante genérico t é
v(t)=s'(t)=-4(2+t)^2

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