Determine, se existir:
a equação da reta tangente à curva
, no ponto de abcissa
e ordenada positiva.
a equação da reta tangente à curva
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva dada implicitamente por
no ponto cuja abcissa é
e que tenha ordenada positiva. Vamos usar:
- achar o ponto na curva com
e , - diferenciar implicitamente para obter
, - avaliar
nesse ponto e montar a equação da reta.
Passo 2
Para encontrar as possíveis ordenadas em
, substituímos na equação da curva:
que simplifica para
As soluções são
,
e
. A ordenada positiva é
. Logo, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora aplicamos diferenciação implícita em
Derivando ambos os lados em relação a
:
ou seja
Agrupando os termos que multiplicam
:
portanto
Passo 4
Avaliamos
em
:
Então a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
A reta tangente no ponto
com coeficiente angular
é dada por
que em forma explícita fica
Resposta
A equação da reta tangente é