Determine, se existir:
a equação da reta tangente à curva x^3+x y-y^3=1, no ponto de abcissa x=1 e ordenada positiva.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva dada implicitamente por
x^3 + x,y - y^3 = 1
no ponto cuja abcissa é x=1 e que tenha ordenada positiva. Vamos usar:
  • achar o ponto na curva com x=1 e y>0,
  • diferenciar implicitamente para obter y'=dy/dx,
  • avaliar y' nesse ponto e montar a equação da reta.

Passo 2

Para encontrar as possíveis ordenadas em x=1, substituímos na equação da curva:
1^3 + 1cdot y - y^3 = 1
que simplifica para
1 + y - y^3 = 1 Longrightarrow y - y^3 = 0 Longrightarrow y,(1 - y^2) = 0
As soluções são y=0, y=1 e y=-1. A ordenada positiva é y=1. Logo, o ponto de tangência é (1,1).

Passo 3

Agora aplicamos diferenciação implícita em
x^3 + x,y - y^3 = 1
Derivando ambos os lados em relação a x:
3x^2 + l(1cdot y + x,y'r) - 3y^2,y' = 0,
ou seja
3x^2 + y + x,y' - 3y^2,y' = 0
Agrupando os termos que multiplicam y':
x,y' - 3y^2,y' = -3x^2 - y Longrightarrow l(x - 3y^2r),y' = -3x^2 - y,
portanto
y' = -3x^2 - yx - 3y^2

Passo 4

Avaliamos y' em (x,y)=(1,1):
y'(1,1) = -3cdot1^2 - 11 - 3cdot1^2 = -3 - 11 - 3 = -4-2 = 2
Então a inclinação da reta tangente é m=2.

Passo 5

A reta tangente no ponto (1,1) com coeficiente angular m=2 é dada por
y - 1 = 2,(x - 1),
que em forma explícita fica
y = 2x - 2 + 1 Longrightarrow y = 2x - 1

Resposta

A equação da reta tangente é
boxedy = 2x - 1

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