3 Calcule: integral(x^2-2 x+1) e^x d x.
Verifique que: integral P(x) e^x d x=(P(x)-P^prime(x)+P^prime prime(x)-P^prime prime prime(x)+ldots) e^x+C, onde P(x) é um polinômio qualquer e P^prime(x), P^prime prime(x), P^prime prime prime(x), ldots suas derivadas.

Passo 1

Estamos pedindo a integral
integral l(x^2-2x+1r)e^x,dx
que é um caso típico de polinômio vezes exponencial. O enunciado já nos dá a fórmula geral
integral P(x)e^x,dx=l(P(x)-P'(x)+P''(x)-P'''(x)+cdotsr)e^x+C,
onde P(x) é um polinômio.

Passo 2

Identificamos
P(x)=x^2-2x+1
Agora calculamos suas derivadas sucessivas até zerar:
P'(x)=2x-2,
P''(x)=2,
P'''(x)=0

Passo 3

Pela fórmula, a soma alternada de P e suas derivadas para esse caso vai até P'', pois P'''=0. Logo,
integral P(x)e^x,dx=l(P(x)-P'(x)+P''(x)r)e^x+C

Passo 4

Substituindo os valores:
P(x)-P'(x)+P''(x) =(x^2-2x+1)-(2x-2)+2 =x^2-2x+1-2x+2+2 =x^2-4x+5
Portanto
integrall(x^2-2x+1r)e^x,dx =(x^2-4x+5)e^x+C

Resposta

boxedintegrall(x^2-2x+1r)e^x,dx=(x^2-4x+5)e^x+C

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