Exercício 14. Considere
uma função duas vezes diferenciável. O objetivo deste exercício é escrever
em coordenadas canônicas.
Dados
, os escrevemos em coordenadas canônicas como
Obter as
componentes do vetor
em termos das derivadas parciais de segunda ordem de
e das coordenadas de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a segunda derivada
em coordenadas canônicas, sabendo que
é duas vezes diferenciável. O conteúdo aqui é interpretar
como uma aplicação bilinear cujo “coeficientes” são as segundas derivadas parciais de cada componente de
.
Passo 2
Escrevemos os vetores
nas coordenadas canônicas:
Passo 3
Pela bilinearidade de
temos
Passo 4
Cada vetor
tem componentes
porque a segunda derivada mapeia as direções
nas segundas derivadas parciais de cada componente
.
Passo 5
Logo, a
-ésima componente de
é
e em forma vetorial