Exercício 14. Considere f: U longrightarrow R^m uma função duas vezes diferenciável. O objetivo deste exercício é escrever f^prime prime(x0)(v, w) em coordenadas canônicas.
Dados v, w in R^n, os escrevemos em coordenadas canônicas como
v=sumi=1^n v^i ei e w=sumi=1^n w^i ei
Obter as m componentes do vetor f^prime prime(x0)(v, w) in R^m em termos das derivadas parciais de segunda ordem de f e das coordenadas de v e w.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a segunda derivada f''(x0)(v,w) em coordenadas canônicas, sabendo que fcolon UsubsetR^ntoR^m é duas vezes diferenciável. O conteúdo aqui é interpretar f''(x0) como uma aplicação bilinear cujo “coeficientes” são as segundas derivadas parciais de cada componente de f.

Passo 2

Escrevemos os vetores v,winR^n nas coordenadas canônicas:
v=sumi=1^nv^iei, w=sumj=1^nw^jej

Passo 3

Pela bilinearidade de f''(x0) temos
f''(x0)(v,w) =! sumi=1^nsumj=1^nv^iw^j,f''(x0)(ei,ej)

Passo 4

Cada vetor f''(x0)(ei,ej)inR^m tem componentes
l[f''(x0)(ei,ej)r]^k =partial^2f^kpartial x^ipartial x^j(x0), k=1,dots,m,
porque a segunda derivada mapeia as direções ei,ej nas segundas derivadas parciais de cada componente f^k.

Passo 5

Logo, a k-ésima componente de f''(x0)(v,w) é
l[f''(x0)(v,w)r]^k =sumi=1^nsumj=1^n partial^2f^kpartial x^ipartial x^j(x0);v^i,w^j,
e em forma vetorial
f''(x0)(v,w) =sumk=1^mgl(sumi,j=1^n partial^2f^kpartial x^ipartial x^j(x0),v^i,w^jgr)ek

Resposta

l[f''(x0)(v,w)r]^k =sumi=1^nsumj=1^n partial^2f^kpartial x^ipartial x^j(x0),v^i,w^j, k=1,dots,m

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