Exercício 21. (D. 4.3, ex.7) Use a transformada de Fourier para resolver o problema:
c partial^2 upartial t^2(t, x)=c^2 partial^2 upartial x^2(t, x)+h(t, x), x in R, t>0 u(0, x)=partial upartial t(0, x)=0, x in R

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda não-homogênea
partial^2upartial t^2(t,x)=c^2partial^2upartial x^2(t,x)+h(t,x), xinR,;t>0
com condições iniciais nulas
u(0,x)=0, partial upartial t(0,x)=0
O conteúdo é usar a transformada de Fourier em x para reduzir a PDE a uma ODE em t e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Fourier em x, definindo
hat u(t,k)=integral-infty^inftye^-ikx,u(t,x),dx, hat h(t,k)=integral-infty^inftye^-ikx,h(t,x),dx
Como Fpartialx^2u=-k^2hat u, a PDE vira a ODE em t:
d^2hat udt^2(t,k)+c^2k^2,hat u(t,k)=hat h(t,k),
com condições iniciais
hat u(0,k)=0 e partialthat u(0,k)=0.

Passo 3

Para a ODE
d^2hat udt^2+c^2k^2hat u=hat h(t,k),
usamos o método de Duhamel. A solução geral com condições nulas é
hat u(t,k) =integral0^tsin!l(c,k,(t-s)r)c,k,hat h(s,k),ds

Passo 4

Agora fazemos a transformada inversa em k:
u(t,x) =12piintegral-infty^inftye^ikx,hat u(t,k),dk =12piintegral-infty^inftye^ikx l[integral0^tsin(c k (t-s))c k,hat h(s,k),dsr]dk
Trocando ordem de integração e reconhecendo que
12piintegral-infty^inftye^ik(x-xi)sin!l(c,k,(t-s)r)k,dk =pic1|x-xi|<= c(t-s),
chegamos a um núcleo de propagação finita.

Passo 5

Finalmente obtemos a fórmula de Duhamel para o problema da onda em R:
u(t,x) =12cintegral0^tintegralx-c(t-s)^,x+c(t-s)h(s,xi),dxi,ds

Resposta

boxedu(t,x) =12cintegral0^tintegralx-c(t-s)^x+c(t-s)h(s,xi),dxi,ds

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