Exercício 21. (D. 4.3, ex.7) Use a transformada de Fourier para resolver o problema:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda não-homogênea
com condições iniciais nulas
O conteúdo é usar a transformada de Fourier em
para reduzir a PDE a uma ODE em
e depois inverter a transformada.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Fourier em
, definindo
Como
, a PDE vira a ODE em
:
com condições iniciais
e
.
Passo 3
Para a ODE
usamos o método de Duhamel. A solução geral com condições nulas é
Passo 4
Agora fazemos a transformada inversa em
:
Trocando ordem de integração e reconhecendo que
chegamos a um núcleo de propagação finita.
Passo 5
Finalmente obtemos a fórmula de Duhamel para o problema da onda em
: