Determine (se existir) os extremos relativos de
:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os extremos relativos da função
. Esse problema está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função, igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos e, em seguida, analisar a natureza desses pontos para identificar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero.
Então, temos o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos esse valor de
na segunda equação:
Simplificando:
Passo 5
Fatorando a equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
-
– Mas não está no domínio da função original, pois resultaria em divisão por zero. -
Passo 6
Agora, encontramos
usando
:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 7
Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos analisar a segunda derivada usando o teste da segunda derivada.
Calculamos as segundas derivadas:
No ponto
:
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Passo 8
Como
e
, isso indica que o ponto
é um ponto de máximo relativo.
Resposta
A função
possui um extremo relativo máximo no ponto
.