Determine (se existir) os extremos relativos de f :
f(x, y)=1x-64y+x y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os extremos relativos da função . Esse problema está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função, igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos e, em seguida, analisar a natureza desses pontos para identificar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função fx(x, y) = partial fpartial x = -1x^2 + y em relação a fy(x, y) = partial fpartial y = 64y^2 + x e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero.
Então, temos o sistema de equações:
-1x^2 + y = 0 64y^2 + x = 0

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para y = 1x^2 :
64( 1x^2 )^2 + x = 0
Agora, substituímos esse valor de 641x^4 + x = 0 Rightarrow 64 x^4 + x = 0 na segunda equação:
Simplificando:

Passo 5

Fatorando a equação:
x (64 x^3 + 1) = 0
Isso nos dá duas soluções possíveis:
  1. – Mas não está no domínio da função original, pois resultaria em divisão por zero.

Passo 6

Agora, encontramos y = 1( -14 )^2 = 1116 = 16 usando :
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 7

Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos analisar a segunda derivada usando o teste da segunda derivada.
Calculamos as segundas derivadas:
fxx = 2x^3, fyy = -128y^3, fxy = 1
No ponto fxx = 2( -14 )^3 = 2-164 = -128 :
fyy = -12816^3 = -1284096 = -132
fxy = 1
D = fxx fyy - (fxy)^2 = (-128) ( -132 ) - (1)^2 = 4 - 1 = 3
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:

Passo 8

Como e , isso indica que o ponto é um ponto de máximo relativo.

Resposta

A função possui um extremo relativo máximo no ponto .

Exercícios relacionados