Determine a função polinomial f de grau três cujo gráfico passa pelos pontos (1,4),(-1,4),(2,16) e (3,44).

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma função polinomial de grau três cujo gráfico passa pelos pontos (1,4), (-1,4), (2,16) e (3,44).
Informações dadas:
  • Quatro pontos do gráfico: (1,4), (-1,4), (2,16), (3,44).
  • Queremos uma função polinomial de grau três (ou seja, um polinômio com termo cúbico não nulo).

Passo 2

Escrevendo a forma geral de um polinômio de grau três: seja
f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,
onde \,a,b,c,d\in\mathbb{R} e \,a\neq0.
Explicando o que cada coeficiente representa de forma simples:
  • a controla o termo de maior grau \,x^{3} (a “curvatura cúbica”),
  • b multiplica x^{2} (afeta a concavidade),
  • c multiplica x (termo linear),
  • d é o termo constante (o valor de f(0)).
    Para encontrar a,b,c,d vamos substituir cada ponto na expressão de f e obter um sistema linear com quatro equações.

Passo 3

Substituindo cada ponto (x,f(x))\) em \(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\) obtemos o sistema: \[\begin{cases} a+b+c+d=4,\\[4pt] - a+b - c + d=4,\\[4pt] 8a+4b+2c+d=16,\\[4pt] 27a+9b+3c+d=44. \end{cases}
Aqui cada linha veio de substituir x\] e igualar ao valor \(f(x) correspondente:
  • para x=1: a(1)^{3}+b(1)^{2}+c(1)+d=4 levando a a+b+c+d=4, etc.]

Passo 4

Estratégia para resolver o sistema (explicando a ideia): como todas as equações têm o termo d igual (coeficiente 1), ao subtrair uma equação de outra podemos eliminar d. Isso reduz o número de incógnitas. Também usamos subtrações para eliminar simultaneamente outras incógnitas quando possível. A eliminação é uma técnica simples: somar/subtrair equações para cancelar variáveis.
Primeiro passo prático: subtrair a segunda equação da primeira para eliminar b e d (observe os sinais):
(a+b+c+d)-(-a+b-c+d)=4-4.
Calculando o lado esquerdo:
a+b+c+d + a - b + c - d = 2a + 2c.
Do lado direito 4-4=0. Portanto obtemos
2a+2c=0 \quad\Rightarrow\quad a+c=0.
Isto dá uma relação simples entre a e c:
c=-a.

Passo 5

Agora subtraímos a primeira equação da terceira para eliminar d:
(8a+4b+2c+d)-(a+b+c+d)=16-4.
No lado esquerdo fica
7a+3b+c,
e no lado direito 12. Logo
7a+3b+c=12.
Substituindo c=-a (achei isso no passo anterior) obtemos
7a+3b- a =12 \quad\Rightarrow\quad 6a+3b=12.
Dividindo por 3:
2a+b=4.
Isto é uma relação linear entre a e b.

Passo 6

Fazemos o mesmo com a quarta equação menos a primeira para eliminar d:
(27a+9b+3c+d)-(a+b+c+d)=44-4.
No lado esquerdo fica
26a+8b+2c,
e no direito 40. Assim
26a+8b+2c=40.
Substituindo c=-a temos
26a+8b-2a=40 \quad\Rightarrow\quad 24a+8b=40.
Dividindo por 8:
3a+b=5.

Passo 7

Agora temos duas equações simples para a\) e \(b\): \[\begin{cases} 2a+b=4,\\[4pt] 3a+b=5. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar b\]: \[(3a+b)-(2a+b)=5-4 \quad\Rightarrow\quad a=1.\] Com \(a=1, voltamos em 2a+b=4:
2\cdot 1 + b =4 \quad\Rightarrow\quad b=2.
Com a=1 usamos c=-a do passo anterior:
c=-1.
Finalmente determinamos d usando a primeira equação a+b+c+d=4:
1 + 2 + (-1) + d =4 \quad\Rightarrow\quad 2 + d =4 \quad\Rightarrow\quad d=2.]

Passo 8

Montando a função com os coeficientes encontrados:
f(x)=1\cdot x^{3} + 2\cdot x^{2} + (-1)\cdot x + 2,
ou seja
f(x)=x^{3}+2x^{2}-x+2.

Passo 9

Verificação rápida (importante para a prova): calcular f nos pontos dados para confirmar.
  • f(1)=1+2-1+2=4.
  • f(-1)=(-1)+2\cdot1 -(-1)+2 = -1+2+1+2=4.
  • f(2)=8+8-2+2=16.
  • f(3)=27+18-3+2=44.
    Todos batem com os pontos fornecidos, então a solução está correta.

Resposta

f(x)=x^{3}+2x^{2}-x+2

Exercícios relacionados