Determine a função polinomial
de grau três cujo gráfico passa pelos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma função polinomial de grau três cujo gráfico passa pelos pontos
,
,
e
.
Informações dadas:
- Quatro pontos do gráfico:
, , , . - Queremos uma função polinomial de grau três (ou seja, um polinômio com termo cúbico não nulo).
Passo 2
Escrevendo a forma geral de um polinômio de grau três: seja
onde
e
.
Explicando o que cada coeficiente representa de forma simples:
Explicando o que cada coeficiente representa de forma simples:
-
controla o termo de maior grau (a “curvatura cúbica”), -
multiplica (afeta a concavidade), -
multiplica (termo linear), -
é o termo constante (o valor de ).
Para encontrarvamos substituir cada ponto na expressão de e obter um sistema linear com quatro equações.
Passo 3
Substituindo cada ponto
Aqui cada linha veio de substituir
correspondente:
- para
: levando a , etc.]
Passo 4
Estratégia para resolver o sistema (explicando a ideia): como todas as equações têm o termo
igual (coeficiente
), ao subtrair uma equação de outra podemos eliminar
. Isso reduz o número de incógnitas. Também usamos subtrações para eliminar simultaneamente outras incógnitas quando possível. A eliminação é uma técnica simples: somar/subtrair equações para cancelar variáveis.
Primeiro passo prático: subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
e
(observe os sinais):
Calculando o lado esquerdo:
Do lado direito
. Portanto obtemos
Isto dá uma relação simples entre
e
:
Passo 5
Agora subtraímos a primeira equação da terceira para eliminar
:
No lado esquerdo fica
e no lado direito
. Logo
Substituindo
(achei isso no passo anterior) obtemos
Dividindo por
:
Isto é uma relação linear entre
e
.
Passo 6
Fazemos o mesmo com a quarta equação menos a primeira para eliminar
:
No lado esquerdo fica
e no direito
. Assim
Substituindo
temos
Dividindo por
:
Passo 7
Agora temos duas equações simples para
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar
, voltamos em
:
Com
usamos
do passo anterior:
Finalmente determinamos
usando a primeira equação
:
Passo 8
Montando a função com os coeficientes encontrados:
ou seja
Passo 9
Verificação rápida (importante para a prova): calcular
nos pontos dados para confirmar.
-
. -
. -
. -
.
Todos batem com os pontos fornecidos, então a solução está correta.