Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
N=\left(\begin{array}{ccc}-3 & -1 & -3 \\\\ 2 & -4 & -1 \\\\ -1 & -2 & -2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar, se existir, a inversa da matriz
N=\begin{pmatrix}-3 & -1 & -3 \\[4pt] 2 & -4 & -1 \\[4pt] -1 & -2 & -2\end{pmatrix}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A matriz N é uma matriz 3\times3 cujos elementos estão listados acima.
  • A pergunta é: existe N^{-1}? Se existir, qual é ela?]

Passo 2

Decisão do método: para matrizes 3\times3 há dois jeitos bem comuns de achar a inversa: (i) eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações elementares numa matriz aumentada \bigl[N \mid I\bigr] até obter \bigl[I \mid N^{-1}\bigr]; ou (ii) calcular a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores) e dividir pelo determinante: N^{-1}=\dfrac{\operatorname{adj}(N)}{\det(N)}.
Vou usar o método da adjunta/cofatores porque:
  • é direto e mecânico aqui (vou calcular vários determinantes 2\times2 pequenos);
  • quando o determinante for inteiro pequeno (como costuma ocorrer), o resultado tende a ser inteiro e fica fácil de verificar;
  • é fácil de explicar passo a passo num caderno de prova.
Antes de usar a adjunta, preciso calcular \det(N) para saber se N é invertível ( \det(N)\neq0).

Passo 3

Fórmula do determinante de uma matriz 3\times3.
Para
N=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
temos
\det(N)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui a_{11}=-3, a_{12}=-1, a_{13}=-3, a_{21}=2, a_{22}=-4, a_{23}=-1, a_{31}=-1, a_{32}=-2, a_{33}=-2.
Calculemos termo a termo:
a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) = -3\bigl((-4)(-2)-(-1)(-2)\bigr) = -3(8-2) = -3\cdot6 = -18.
-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) = -(-1)\bigl(2\cdot(-2)-(-1)\cdot(-1)\bigr) = +1(-4-1) = -5.
a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) = -3\bigl(2\cdot(-2)-(-4)\cdot(-1)\bigr) = -3(-4-4) = -3(-8) = 24.
Somando:
\det(N) = -18 + (-5) + 24 = 1.]

Passo 4

Interpretação: como \det(N)=1\neq0, a matriz N é invertível e a inversa existe. Além disso,
N^{-1}=\frac{\operatorname{adj}(N)}{\det(N)}=\operatorname{adj}(N),
porque \det(N)=1. Agora vamos calcular \operatorname{adj}(N), que é a transposta da matriz dos cofatores.
Lembrete sobre cofatores: o cofator C_{ij} é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor obtido ao eliminar linha i e coluna j (ou seja, o determinante 2\times2 restante). Depois, \operatorname{adj}(N)=\bigl(C_{ij}\bigr)^{\mathsf{T}}.

Passo 5

Calcular os menores M_{ij} e os cofatores C_{ij} um a um.
Para i=1,j=1: eliminar linha 1 e coluna 1 sobra a submatriz \begin{pmatrix}-4 & -1\\\\ -2 & -2\end{pmatrix}.
M_{11}=(-4)(-2)-(-1)(-2)=8-2=6,\qquad C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=+6.
Para i=1,j=2: submatriz \begin{pmatrix}2 & -1\\\\ -1 & -2\end{pmatrix}.
M_{12}=2(-2)-(-1)(-1)=-4-1=-5,\qquad C_{12}=(-1)^{3}M_{12}=-1\cdot(-5)=5.
Para i=1,j=3: submatriz \begin{pmatrix}2 & -4\\\\ -1 & -2\end{pmatrix}.
M_{13}=2(-2)-(-4)(-1)=-4-4=-8,\qquad C_{13}=(-1)^{4}M_{13}= -8.
Para i=2,j=1: submatriz \begin{pmatrix}-1 & -3\\\\ -2 & -2\end{pmatrix}.
M_{21}=(-1)(-2)-(-3)(-2)=2-6=-4,\qquad C_{21}=(-1)^{3}M_{21}=-1\cdot(-4)=4.
Para i=2,j=2: submatriz \begin{pmatrix}-3 & -3\\\\ -1 & -2\end{pmatrix}.
M_{22}=(-3)(-2)-(-3)(-1)=6-3=3,\qquad C_{22}=(-1)^{4}M_{22}=3.
Para i=2,j=3: submatriz \begin{pmatrix}-3 & -1\\\\ -1 & -2\end{pmatrix}.
M_{23}=(-3)(-2)-(-1)(-1)=6-1=5,\qquad C_{23}=(-1)^{5}M_{23}=-5.
Para i=3,j=1: submatriz \begin{pmatrix}-1 & -3\\\\ -4 & -1\end{pmatrix}.
M_{31}=(-1)(-1)-(-3)(-4)=1-12=-11,\qquad C_{31}=(-1)^{4}M_{31}=-11.
Para i=3,j=2: submatriz \begin{pmatrix}-3 & -3\\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.
M_{32}=(-3)(-1)-(-3)(2)=3-(-6)=9,\qquad C_{32}=(-1)^{5}M_{32}=-9.
Para i=3,j=3: submatriz \begin{pmatrix}-3 & -1\\\\ 2 & -4\end{pmatrix}.
M_{33}=(-3)(-4)-(-1)(2)=12-(-2)=14,\qquad C_{33}=(-1)^{6}M_{33}=14.

Passo 6

Escrevendo a matriz dos cofatores C=\bigl(C_{ij}\bigr):
C=\begin{pmatrix} 6 & 5 & -8\\[4pt] 4 & 3 & -5\\[4pt] -11 & -9 & 14 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(N)=C^{\mathsf{T}}= \begin{pmatrix} 6 & 4 & -11\\[4pt] 5 & 3 & -9\\[4pt] -8 & -5 & 14 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Como \det(N)=1, temos
N^{-1}=\frac{\operatorname{adj}(N)}{\det(N)}=\operatorname{adj}(N)= \begin{pmatrix} 6 & 4 & -11\\[4pt] 5 & 3 & -9\\[4pt] -8 & -5 & 14 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação (cheque rápido): multiplicando a primeira linha de N pela primeira coluna de N^{-1} obtemos
(-3)\cdot6+(-1)\cdot5+(-3)\cdot(-8)=-18-5+24=1,
e multiplicando a primeira linha de N pela segunda coluna de N^{-1} obtemos
(-3)\cdot4+(-1)\cdot3+(-3)\cdot(-5)=-12-3+15=0.
Esses resultados são coerentes com a primeira linha da matriz identidade; cheques similares nas demais entradas confirmam que N\cdot N^{-1}=I_3.

Resposta

N^{-1}=\begin{pmatrix} 6 & 4 & -11\\[4pt] 5 & 3 & -9\\[4pt] -8 & -5 & 14 \end{pmatrix}]

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