Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
M=\left(\begin{array}{lll}-1 & -2 & -3 \\\\ -2 & -4 & -5 \\\\ -3 & -5 & -6\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se existir, a inversa da matriz
M=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\[4pt] -2 & -4 & -5 \\[4pt] -3 & -5 & -6\end{pmatrix}.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • A matriz M é uma matriz quadrada 3\times3 com entradas inteiras negativas e simetrizada.
  • A tarefa é encontrar M^{-1}, isto é, a matriz que satisfaz M M^{-1}=I_3, quando essa inversa existir.]

Passo 2

O que vamos usar (explicando de forma didática e calma).
  • Definição: uma matriz quadrada A tem inversa A^{-1} se e somente se \det(A)\neq 0. Quando a inversa existe, ela é única e satisfaz
A A^{-1}=A^{-1}A=I.
  • Método escolhido: a fórmula pela adjunta (adjugate). Ela é bastante direta para 3\times3 e não exige muitos passos complicados com operações de linha. A fórmula é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (adjugate), que é a transposta da matriz dos cofatores.
  • Explicando os conceitos:
    • Menor de um elemento a_{ij}: é o determinante da submatriz que sobra ao excluir a linha i e a coluna j.
    • Cofator C_{ij}: é (-1)^{i+j} vezes o menor correspondente.
    • Matriz dos cofatores: a matriz formada por C_{ij}.
    • A adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores.
Vou então:
  1. Calcular \det(M).
  2. Calcular todos os cofatores C_{ij}.
  3. Formar \operatorname{adj}(M) como a transposta da matriz dos cofatores.
  4. Aplicar M^{-1}=\dfrac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M). Se \det(M)=0 não há inversa; se \det(M)\neq0 haverá inversa.

Passo 3

Calcular o determinante \det(M) expandindo pela primeira linha (método direto para 3\times3). Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, faço:
\det(M)=(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-4 & -5 \\[4pt] -5 & -6\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -5 \\[4pt] -3 & -6\end{pmatrix} +(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -4 \\[4pt] -3 & -5\end{pmatrix}.
Agora avalio cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-4 & -5 \\[4pt] -5 & -6\end{pmatrix}=(-4)(-6)-(-5)(-5)=24-25=-1,
\det\begin{pmatrix}-2 & -5 \\[4pt] -3 & -6\end{pmatrix}=(-2)(-6)-(-5)(-3)=12-15=-3,
\det\begin{pmatrix}-2 & -4 \\[4pt] -3 & -5\end{pmatrix}=(-2)(-5)-(-4)(-3)=10-12=-2.
Substituindo:
\det(M)=(-1)\cdot(-1)-(-2)\cdot(-3)+(-3)\cdot(-2).
Calculo termo a termo:
(-1)\cdot(-1)=1,\qquad -(-2)\cdot(-3) = - ( (-2)\cdot(-3) ) = -6,\qquad (-3)\cdot(-2)=6.
Somando:
\det(M)=1-6+6=1.
Conclusão importante: \det(M)=1\neq0. Portanto a inversa existe e, por sorte, como o determinante é 1, teremos M^{-1}=\operatorname{adj}(M) (ou seja, sem divisão complicada).]

Passo 4

Calcular os cofatores C_{ij}. Vou definir cada menor e aplicar o sinal (-1)^{i+j}.
  • C_{11}: menor da linha 1 coluna 1 é \det\begin{pmatrix}-4 & -5 \\[4pt] -5 & -6\end{pmatrix}=-1. O sinal é (-)^{1+1}=+, então
C_{11}=-1.
  • C_{12}: menor da linha 1 coluna 2 é \det\begin{pmatrix}-2 & -5 \\[4pt] -3 & -6\end{pmatrix}=-3. O sinal é (-1)^{1+2}=-, logo
C_{12}=-(-3)=3.
  • C_{13}: menor da linha 1 coluna 3 é \det\begin{pmatrix}-2 & -4 \\[4pt] -3 & -5\end{pmatrix}=-2. O sinal é (-)^{1+3}=+, então
C_{13}=-2.
  • C_{21}: menor da linha 2 coluna 1 é \det\begin{pmatrix}-2 & -3 \\[4pt] -5 & -6\end{pmatrix}=(-2)(-6)-(-3)(-5)=12-15=-3. O sinal é (-1)^{2+1}=-, logo
C_{21}=-(-3)=3.
  • C_{22}: menor da linha 2 coluna 2 é \det\begin{pmatrix}-1 & -3 \\[4pt] -3 & -6\end{pmatrix}=(-1)(-6)-(-3)(-3)=6-9=-3. O sinal é (-)^{2+2}=+, então
C_{22}=-3.
  • C_{23}: menor da linha 2 coluna 3 é \det\begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] -3 & -5\end{pmatrix}=(-1)(-5)-(-2)(-3)=5-6=-1. O sinal é (-1)^{2+3}=-, logo
C_{23}=-(-1)=1.
  • C_{31}: menor da linha 3 coluna 1 é \det\begin{pmatrix}-2 & -3 \\[4pt] -4 & -5\end{pmatrix}=(-2)(-5)-(-3)(-4)=10-12=-2. O sinal é (-)^{3+1}=+, então
C_{31}=-2.
  • C_{32}: menor da linha 3 coluna 2 é \det\begin{pmatrix}-1 & -3 \\[4pt] -2 & -5\end{pmatrix}=(-1)(-5)-(-3)(-2)=5-6=-1. O sinal é (-1)^{3+2}=-, logo
C_{32}=-(-1)=1.
  • C_{33}: menor da linha 3 coluna 3 é \det\begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] -2 & -4\end{pmatrix}=(-1)(-4)-(-2)(-2)=4-4=0. O sinal é (-)^{3+3}=+, então
C_{33}=0.
Assim, a matriz dos cofatores é
\big(C_{ij}\big)=\begin{pmatrix} -1 & 3 & -2 \\[4pt] 3 & -3 & 1 \\[4pt] -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Formar a adjunta \operatorname{adj}(M) transpondo a matriz dos cofatores. Por definição,
\operatorname{adj}(M)=\big(C_{ji}\big).
Como a matriz dos cofatores que encontramos é simétrica (os elementos já satisfazem C_{ij}=C_{ji} neste caso), a sua transposta é a própria matriz dos cofatores. Lembrando a fórmula da inversa:
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M).
No passo anterior obtivemos \det(M)=1, então
M^{-1}=\operatorname{adj}(M).
Portanto a inversa existe e é exatamente a matriz adjunta (a transposta da matriz dos cofatores) que encontramos.

Resposta

M^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 3 & -2 \\[4pt] 3 & -3 & 1 \\[4pt] -2 & 1 & 0\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados