A matriz M é uma matriz quadrada 3\times3 com entradas inteiras negativas e simetrizada.
A tarefa é encontrar M^{-1}, isto é, a matriz que satisfaz M M^{-1}=I_3, quando essa inversa existir.]
Passo 2
O que vamos usar (explicando de forma didática e calma).
Definição: uma matriz quadrada A tem inversa A^{-1} se e somente se \det(A)\neq 0. Quando a inversa existe, ela é única e satisfaz
A A^{-1}=A^{-1}A=I.
Método escolhido: a fórmula pela adjunta (adjugate). Ela é bastante direta para 3\times3 e não exige muitos passos complicados com operações de linha. A fórmula é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (adjugate), que é a transposta da matriz dos cofatores.
Explicando os conceitos:
Menor de um elemento a_{ij}: é o determinante da submatriz que sobra ao excluir a linha i e a coluna j.
Cofator C_{ij}: é (-1)^{i+j} vezes o menor correspondente.
Matriz dos cofatores: a matriz formada por C_{ij}.
A adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores.
Vou então:
Calcular \det(M).
Calcular todos os cofatores C_{ij}.
Formar \operatorname{adj}(M) como a transposta da matriz dos cofatores.
Aplicar M^{-1}=\dfrac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M). Se \det(M)=0 não há inversa; se \det(M)\neq0 haverá inversa.
Passo 3
Calcular o determinante \det(M) expandindo pela primeira linha (método direto para 3\times3). Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, faço:
Conclusão importante: \det(M)=1\neq0. Portanto a inversa existe e, por sorte, como o determinante é 1, teremos M^{-1}=\operatorname{adj}(M) (ou seja, sem divisão complicada).]
Passo 4
Calcular os cofatores C_{ij}. Vou definir cada menor e aplicar o sinal (-1)^{i+j}.
C_{11}: menor da linha 1 coluna 1 é \det\begin{pmatrix}-4 & -5 \\[4pt] -5 & -6\end{pmatrix}=-1. O sinal é (-)^{1+1}=+, então
C_{11}=-1.
C_{12}: menor da linha 1 coluna 2 é \det\begin{pmatrix}-2 & -5 \\[4pt] -3 & -6\end{pmatrix}=-3. O sinal é (-1)^{1+2}=-, logo
C_{12}=-(-3)=3.
C_{13}: menor da linha 1 coluna 3 é \det\begin{pmatrix}-2 & -4 \\[4pt] -3 & -5\end{pmatrix}=-2. O sinal é (-)^{1+3}=+, então
C_{13}=-2.
C_{21}: menor da linha 2 coluna 1 é \det\begin{pmatrix}-2 & -3 \\[4pt] -5 & -6\end{pmatrix}=(-2)(-6)-(-3)(-5)=12-15=-3. O sinal é (-1)^{2+1}=-, logo
C_{21}=-(-3)=3.
C_{22}: menor da linha 2 coluna 2 é \det\begin{pmatrix}-1 & -3 \\[4pt] -3 & -6\end{pmatrix}=(-1)(-6)-(-3)(-3)=6-9=-3. O sinal é (-)^{2+2}=+, então
C_{22}=-3.
C_{23}: menor da linha 2 coluna 3 é \det\begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] -3 & -5\end{pmatrix}=(-1)(-5)-(-2)(-3)=5-6=-1. O sinal é (-1)^{2+3}=-, logo
C_{23}=-(-1)=1.
C_{31}: menor da linha 3 coluna 1 é \det\begin{pmatrix}-2 & -3 \\[4pt] -4 & -5\end{pmatrix}=(-2)(-5)-(-3)(-4)=10-12=-2. O sinal é (-)^{3+1}=+, então
C_{31}=-2.
C_{32}: menor da linha 3 coluna 2 é \det\begin{pmatrix}-1 & -3 \\[4pt] -2 & -5\end{pmatrix}=(-1)(-5)-(-3)(-2)=5-6=-1. O sinal é (-1)^{3+2}=-, logo
C_{32}=-(-1)=1.
C_{33}: menor da linha 3 coluna 3 é \det\begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] -2 & -4\end{pmatrix}=(-1)(-4)-(-2)(-2)=4-4=0. O sinal é (-)^{3+3}=+, então
Formar a adjunta \operatorname{adj}(M) transpondo a matriz dos cofatores. Por definição,
\operatorname{adj}(M)=\big(C_{ji}\big).
Como a matriz dos cofatores que encontramos é simétrica (os elementos já satisfazem C_{ij}=C_{ji} neste caso), a sua transposta é a própria matriz dos cofatores. Lembrando a fórmula da inversa:
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M).
No passo anterior obtivemos \det(M)=1, então
M^{-1}=\operatorname{adj}(M).
Portanto a inversa existe e é exatamente a matriz adjunta (a transposta da matriz dos cofatores) que encontramos.