A matriz N é uma matriz 3\times3 cujos elementos estão listados acima.
A pergunta é: existe N^{-1}? Se existir, qual é ela?]
Passo 2
Decisão do método: para matrizes 3\times3 há dois jeitos bem comuns de achar a inversa: (i) eliminação de Gauss-Jordan aplicando operações elementares numa matriz aumentada \bigl[N \mid I\bigr] até obter \bigl[I \mid N^{-1}\bigr]; ou (ii) calcular a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores) e dividir pelo determinante: N^{-1}=\dfrac{\operatorname{adj}(N)}{\det(N)}.
Vou usar o método da adjunta/cofatores porque:
é direto e mecânico aqui (vou calcular vários determinantes 2\times2 pequenos);
quando o determinante for inteiro pequeno (como costuma ocorrer), o resultado tende a ser inteiro e fica fácil de verificar;
é fácil de explicar passo a passo num caderno de prova.
Antes de usar a adjunta, preciso calcular \det(N) para saber se N é invertível (\det(N)\neq0).
Passo 3
Fórmula do determinante de uma matriz 3\times3.
Para
porque \det(N)=1. Agora vamos calcular \operatorname{adj}(N), que é a transposta da matriz dos cofatores.
Lembrete sobre cofatores: o cofator C_{ij} é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor obtido ao eliminar linha i e coluna j (ou seja, o determinante 2\times2 restante). Depois, \operatorname{adj}(N)=\bigl(C_{ij}\bigr)^{\mathsf{T}}.
Passo 5
Calcular os menores M_{ij} e os cofatores C_{ij} um a um.
Para i=1,j=1: eliminar linha 1 e coluna 1 sobra a submatriz \begin{pmatrix}-4 & -1\\\\ -2 & -2\end{pmatrix}.