Determine, se existir:
(c) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^{4}}, em que g tem duas derivadas, \lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\lim _{x \rightarrow 0} g^{\prime}(x)=0 e \lim _{x \rightarrow 0} g^{\prime \prime}(x)=-1$.
Aplicamos a regra de L’Hopital duas vezes
lim x 0 g(x)x^4=lim x 0 g^prime(x)4 x^3=lim x 0 g^prime prime(x)12 x^2 stackrel-10^+=-infty

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 0g(x)x^4,
sabendo que g é duas vezes derivável e
limxto0g(x)=0, limxto0g'(x)=0, limxto0g''(x)=-1
O conteúdo principal aqui é a regra de L’Hôpital para formas 0/0.

Passo 2

Como limxto0g(x)=0 e limxto0x^4=0, temos forma 0/0. Aplicando L’Hôpital pela primeira vez diferenciando numerador e denominador:
limxto0g(x)x^4 =limxto0g'(x)4x^3

Passo 3

Ainda em xto0, lim g'(x)=0 e lim4x^3=0, há de novo forma 0/0. Aplicando L’Hôpital pela segunda vez:
limxto0g'(x)4x^3 =limxto0g''(x)12x^2

Passo 4

Agora limxto0g''(x)=-1 e 12x^2to0^+. Logo
limxto0g''(x)12x^2 =-10^+=-infty

Resposta

limxto0g(x)x^4=-infty

Exercícios relacionados