Determine, se existir:
(c) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^{4}}, em que g tem duas derivadas, \lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\lim _{x \rightarrow 0} g^{\prime}(x)=0 e \lim _{x \rightarrow 0} g^{\prime \prime}(x)=-1$.
Aplicamos a regra de L’Hopital duas vezes
(c) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^{4}}, em que g tem duas derivadas, \lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\lim _{x \rightarrow 0} g^{\prime}(x)=0 e \lim _{x \rightarrow 0} g^{\prime \prime}(x)=-1$.
Passo 1
O enunciado pede calcular
sabendo que
é duas vezes derivável e
O conteúdo principal aqui é a regra de L’Hôpital para formas
.
Passo 2
Como
e
, temos forma
. Aplicando L’Hôpital pela primeira vez diferenciando numerador e denominador:
Passo 3
Ainda em
,
e
, há de novo forma
. Aplicando L’Hôpital pela segunda vez:
Passo 4
Agora
e
. Logo