Se f(x)=e^tg raizsen x, determine f^prime(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^tanl(raizsin xr)
e pede sua derivada f'(x).
O conteúdo é derivada de função composta, usando repetidamente a regra da cadeia.

Passo 2

Começamos aplicando a derivada da exponencial composta. Se f(x)=e^u(x), então
f'(x)=e^u(x)cdot u'(x)
Aqui u(x)=tanl(raizsin xr), logo
f'(x) =e^tan(raizsin x),cdot, ddxl[tan(raizsin x)r]

Passo 3

Agora derivamos u(x)=tan(v(x)) com v(x)=raizsin x. A derivada de tan é sec^2, logo
ddxl[tan(v(x))r] =sec^2l(v(x)r),cdot,v'(x) =sec^2l(raizsin xr),cdot,v'(x)

Passo 4

Falta v'(x) para v(x)=raizsin x=(sin x)^1/2. Usando a regra da cadeia e a derivada de potência:
v'(x) =12(sin x)^-1/2,cdot,ddx[sin x] =12(sin x)^-1/2,cdot,cos x =cos x2raizsin x

Passo 5

Juntando tudo:
f'(x) =e^tan(raizsin x) ;times; sec^2l(raizsin xr) ;times; cos x2raizsin x

Resposta

f'(x) =e^tan(raizsin x), sec^2l(raizsin xr), cos x2raizsin x

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