Mostre que dd x[raiz1+sen x1-sen x]=11-sen x, sendo que x in(0, pi / 2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
dd xgl[raiz1+sen x1-sen xgr] =11-sen x,
considerando xin(0,tfracpi2). O conteúdo principal aqui é derivação de função composta e manipulação trigonométrica. Vamos simplificar a expressão antes de derivar e depois usar a regra do quociente.

Passo 2

Dentro da raiz temos 1+sen x1-sen x. Observe que
raiz1+sen x1-sen x =raiz1+sen xraiz1-sen x
e multiplicando numerador e denominador dentro da raiz por 1+sen x obtemos
raiz1+sen x1-sen x =1+sen xraiz(1-sen x)(1+sen x) =1+sen xraiz1-sen^2 x =1+sen xcos x,
já que cos x>0 em (0,tfracpi2).

Passo 3

Definimos então
y=1+sen xcos x
Para derivar usamos a regra do quociente:
y' =(1+sen x)',cos x-,(1+sen x),(cos x)'cos^2 x
Sabemos que (1+sen x)'=cos x e (cos x)'=-sen x. Substituindo:
y' =cos xcdotcos x - (1+sen x),(-sen x)cos^2 x =cos^2 x + (1+sen x),sen xcos^2 x

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
cos^2 x + (1+sen x),sen x =cos^2 x + sen x + sen^2 x =(cos^2 x+sen^2 x)+sen x =1+sen x
Logo
y'=1+sen xcos^2 x
Como cos^2 x=1-sen^2 x=(1-sen x)(1+sen x), temos
y' =1+sen x(1-sen x)(1+sen x) =11-sen x

Resposta

dd xgl[raiz1+sen x1-sen xgr] =11-sen x

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