Escreva os cinco primeiros termos da sequência. Determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
n^2+1n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever os cinco primeiros termos da sequência n^2+1n, além de determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, a gente precisa achar o limite dela. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como calcular termos de uma sequência e como analisar o comportamento delas quando $ n $ cresce muito, usando conceitos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência. Isso significa substituir $ n $ por 1, 2, 3, 4 e 5 na fórmula da sequência.
  • Para $ n = 1 $: n

Passo 3

  • Para $ n = 2 $: n = 2

Passo 4

  • Para $ n = 3 $: n = 3

Passo 5

  • Para $ n = 4 $: n = 4

Passo 6

  • Para $ n = 5 $: n = 5
Então, os cinco primeiros termos são: 2, 2,5, aproximadamente 3,33, 4,25 e 5,2.

Passo 7

Agora, vamos analisar se a sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos calcular o limite da sequência quando $ n $ tende ao infinito. Olhando para a expressão n , percebemos que o termo dominante no numerador é $ n^{2} $, e no denominador temos $ n $.
Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por $ n $:
n^2+1n
Quando $ n $ tende ao infinito, $ n $ cresce sem limites e $ \frac{1}{n} $ tende a zero. Portanto:
n^2
Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum valor fixo, mas sim crescendo sem parar.

Resposta

Os cinco primeiros termos da sequência são: 2, 2,5, aproximadamente 3,33, 4,25 e 5,2. A sequência é divergente, pois seu limite é infinito.

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