Escreva os cinco primeiros termos da sequência. Determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever os cinco primeiros termos da sequência
, além de determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, a gente precisa achar o limite dela. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como calcular termos de uma sequência e como analisar o comportamento delas quando $ n $ cresce muito, usando conceitos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os cinco primeiros termos da sequência. Isso significa substituir $ n $ por 1, 2, 3, 4 e 5 na fórmula da sequência.
- Para $ n = 1 $:
Passo 3
- Para $ n = 2 $:
Passo 4
- Para $ n = 3 $:
Passo 5
- Para $ n = 4 $:
Passo 6
- Para $ n = 5 $:
Então, os cinco primeiros termos são: 2, 2,5, aproximadamente 3,33, 4,25 e 5,2.
Passo 7
Agora, vamos analisar se a sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos calcular o limite da sequência quando $ n $ tende ao infinito. Olhando para a expressão
, percebemos que o termo dominante no numerador é $ n^{2} $, e no denominador temos $ n $.
Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por $ n $:
Quando $ n $ tende ao infinito, $ n $ cresce sem limites e $ \frac{1}{n} $ tende a zero. Portanto:
Isso significa que a sequência não está se aproximando de nenhum valor fixo, mas sim crescendo sem parar.
Resposta
Os cinco primeiros termos da sequência são: 2, 2,5, aproximadamente 3,33, 4,25 e 5,2. A sequência é divergente, pois seu limite é infinito.