Determine, se existir, o limite
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite de uma função de duas variáveis quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $. A função que estamos lidando é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto $ (0, 0) $ por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir nesse contexto. Em funções de duas variáveis, o limite $ \lim_{(x, y) \rightarrow (0,0)} f(x, y) $ existe se, independentemente do caminho que
segue para chegar até
, a função $ f(x, y) $ se aproxima do mesmo valor.
Então, vamos testar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 3
Vamos começar com um caminho simples: onde $ y = 0 $. Substituindo $ y $ por 0 na função temos:
Então, ao aproximar-se de $ (0,0) $ ao longo do eixo
(onde $ y = 0 $), o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho: onde $ y = x $. Substituindo $ y $ por $ x $ na função temos:
Portanto, ao aproximar-se de $ (0,0) $ ao longo da linha $ y = x $, o limite é 1.
Passo 5
Perceba que obtivemos dois valores diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido: 0 pelo eixo
e 1 pela linha $ y = x $. Isso indica que o limite depende do caminho seguido para chegar a $ (0,0) $.
Resposta
Como o limite de $ f(x, y) $ depende do caminho escolhido para se aproximar de $ (0,0) $ e resulta em valores diferentes, concluímos que o limite $ \lim_{(x, y) \rightarrow (0,0)} f(x, y) $ não existe.