Determine, se existir, o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y).
f(x, y)=x^2 y^2x^2 y^2+(x-y)^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite de uma função de duas variáveis quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $. A função que estamos lidando é:
(x, y)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto $ (0, 0) $ por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir nesse contexto. Em funções de duas variáveis, o limite $ \lim_{(x, y) \rightarrow (0,0)} f(x, y) $ existe se, independentemente do caminho que lim(x, y) (0,0) f(x, y) segue para chegar até (x, y), a função $ f(x, y) $ se aproxima do mesmo valor.
Então, vamos testar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 3

Vamos começar com um caminho simples: onde $ y = 0 $. Substituindo $ y $ por 0 na função temos:
y = 0
Então, ao aproximar-se de $ (0,0) $ ao longo do eixo y (onde $ y = 0 $), o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho: onde $ y = x $. Substituindo $ y $ por $ x $ na função temos:
y = x
Portanto, ao aproximar-se de $ (0,0) $ ao longo da linha $ y = x $, o limite é 1.

Passo 5

Perceba que obtivemos dois valores diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido: 0 pelo eixo x e 1 pela linha $ y = x $. Isso indica que o limite depende do caminho seguido para chegar a $ (0,0) $.

Resposta

Como o limite de $ f(x, y) $ depende do caminho escolhido para se aproximar de $ (0,0) $ e resulta em valores diferentes, concluímos que o limite $ \lim_{(x, y) \rightarrow (0,0)} f(x, y) $ não existe.

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