Determine e faça o esborço das superfícies de nível da função.
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Passo 1
O problema pede para determinar e esboçar as superfícies de nível da função f(x,y,z)=x²−y². O conteúdo é superfícies de nível, que são os conjuntos em ℝ³ dados por f(x,y,z)=k, com k∈ℝ. Vamos usar a definição de superfície de nível e analisar como ela se comporta para diferentes valores de k.
Passo 2
Uma superfície de nível para valor k é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem f(x,y,z)=k. Aqui temos
e como não aparece z nessa equação, a superfície será um cilindro que se estende ao longo do eixo z.
Passo 3
Para k=0,
ou seja, as retas x=y e x=-y no plano xy. Como independe de z, são dois planos que passam pela origem e contêm o eixo z.
Passo 4
Para k>0,
é uma hipérbole no plano xy com ramos abertos ao longo do eixo x. Extrudando ao longo de z, forma-se um cilindro hiperbólico de dois ramos.
Passo 5
Para k<0, definindo ℓ=−k>0,
é uma hipérbole no plano xy com ramos abertos ao longo do eixo y. Ao estender em z, obtemos outro cilindro hiperbólico.
Passo 6
Para esboçar, basta desenhar no plano xy as hipérboles correspondentes a alguns valores de k (por exemplo k=−1,0,1) e imaginar essas curvas se estendendo indefinidamente na direção do eixo z, formando cilindros.
Resposta
As superfícies de nível de f são os cilindros hiperbólicos dados por
independentes da coordenada z. Para k=0 temos dois planos x=y e x=−y; para k>0, cilindros cujas seções no plano xy são hipérboles com ramos ao longo de x; para k<0, cilindros com seções hiperbólicas de ramos ao longo de y. O esboço consiste em desenhar essas hipérboles no plano xy e projetá-las ao longo do eixo z.